Question

（2006•薊縣一模）設F₁、F₂為橢圓的兩個焦點，A為橢圓上的點，且

AF2

•

F1F2

=0，cos∠AF1F2=

2 2

3

，則橢圓的離心率為（　　）

• A．

  10

  8

• B．

  10

  4

• C．

  2

  4

• D．

  2

  2

Answer 1

分析：根據向量數量積的性質，由

AF2

•

F1F2

=0得AF₂⊥F₁F₂，Rt△AF₁F₂中利用三角函數的定義算出|AF₁|=

3 2

2

c，利用勾股定理算出|AF₂|=

2

2

c，進而得到長軸2a=|AF₁|+|AF₂|=2

2

c，即可算出該橢圓的離心率．

解答：解：∵

AF2

•

F1F2

=0，∴

AF2

⊥

F1F2

∵Rt△AF₁F₂中，cos∠AF1F2=

2 2

3

∴

|F 1F2|

|AF1|

=

2 2

3

，得|AF₁|=

3 2

4

|F₁F₂|=

3 2

2

c
由勾股定理，得|AF₂|=

|AF1|2-|F 1F2|2

=

2

2

c
根據橢圓的定義，得長軸2a=|AF₁|+|AF₂|=2

2

c
∴橢圓的離心率e=

2c

2a

=

2c

2 2 c

=

2

2

故選：D

點評：本題給出橢圓中的焦點三角形，在AF₂⊥F₁F₂且cos∠AF1F2=

2 2

3

的情況下求橢圓的離心率．著重考查了向量數量積的性質、直角三角形中三角函數的定義和橢圓的定義與概念等知識，屬于基礎題．