Question

（理科）已知函數的圖象在點（-2，f（-2））處的切線方程為16x+y+20=0
（1）求實數a、b的值
（2）曲線y=f（x）上存在兩點M、N，使得△MON是以坐標原點O為直角頂點的直角三角形，且斜邊MN的中點在y軸上，求實數c的取值范圍
（3）當c=e時，討論關于x的方程f（x）=kx（k∈R）的實根個數．

Answer 1

解：（1）當x＜1時，f'（x）=-3x²+2ax+b．
∵函數圖象在點（-2，f（-2））處的切線方程為16x+y+20=0．
∴切點坐標為（-2，12），則有
解得a=1，b=0…（3分）
（2）由（1）得，根據條件M，N的橫坐標互為相反數，不妨設M（-t，t³+t²），N（t，f（t）），（t＞0）．
①若t＜1，則f（t）=-t³+t²，由∠MON是直角得，，即-t²+（t³+t²）（-t³+t²）=0，t⁴-t²+1=0．（無解）
②若t≥1，則f（t）=clnt．
由于MN的中點在y軸上，且，點N不能在x軸上，即t≠1．
由，-t²+（t³+t²）•clnt=0，分離參數得到
∵函數（t＞1）的值域是（0，+∞）
∴c的取值范圍是（0，+∞）…（7分）
（3）方程f（x）=kx，即，可知0一定是方程的根，
所以僅就x≠0時進行研究，方程等價于．
令…（8分）
下面研究函數k（x）的性態，進而畫出其大致圖象．
對于x＜1且x≠0部分，函數k（x）=-x²+x的圖象是開口向下的拋物線的一部分，當時取得最大值，其值域是；
對于x≥1部分，函數，令，得x=e，
所以函數k（x）在（1，e）上單調遞增，在（e，+∞）上單調遞減，所以k（x）在x=e時取得最大值1，其值域是[0，1]，k（1）=0，并且當x無限增大時，其圖象在x軸上方向右無限接近x軸但永遠也達不到x軸…（10分）
因此可畫出函數k（x）的圖象的示意圖如下：

可得：
①當k＞1時，方程f（x）=kx只有唯一實根0；
②當k=1或者k≤0時，方程f（x）=kx有兩個實根；
③當時，方程f（x）=kx有三個實根；
④當時，方程f（x）=kx有四個實根；
⑤當時，方程f（x）=kx有五個實根；…（12分）
分析：（1）求導函數，利用函數圖象在點（-2，f（-2））處的切線方程為16x+y+20=0，建立方程組，即可求得實數a、b的值；
（2）設出M，N的坐標，分類討論，利用MN的中點在y軸上，且，即可求實數c的取值范圍；
（3）就x≠0時進行研究，方程等價于，利用函數的圖象，分類討論，即可得到結論．
點評：本題考查導數知識的運用，考查分類討論的數學思想，考查向量知識的運用，屬于中檔題．