Question

已知有窮數(shù)列A：a₁，a₂，…，a_n，（n≥2）．若數(shù)列A中各項都是集合{x|-1＜x＜1}的元素，則稱該數(shù)列為數(shù)列．對于數(shù)列A，定義如下操作過程T：從A中任取兩項a_i，a_j，將

ai+aj

1+aiaj

的值添在A的最后，然后刪除a_i，a_j，這樣得到一個n-1項的新數(shù)列A₁（約定：一個數(shù)也視作數(shù)列）．若A₁還是數(shù)列，可繼續(xù)實施操作過程T，得到的新數(shù)列記作A₂，…，如此經(jīng)過k次操作后得到的新數(shù)列記作A_k．
（Ⅰ）設(shè)A：0，

1

2

，

1

3

…請寫出A₁的所有可能的結(jié)果；
（Ⅱ）求證：對于一個n項的數(shù)列A操作T總可以進行n-1次；
（Ⅲ）設(shè)A：-

5

7

，-

1

6

，-

1

5

，-

1

4

，

5

6

，

1

2

，

1

3

，

1

4

，

1

5

，

1

6

…求A₉的可能結(jié)果，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接按定義來操作，每次取兩個數(shù)代入計算即可求出A₁的所有可能的結(jié)果；
（Ⅱ）先通過作差得到每次操作后新數(shù)列仍是T數(shù)列；再根據(jù)每次操作中都是增加一項，刪除兩項即可得到結(jié)論；
（Ⅲ）先定義運算：a⊙b=

a+b

1+ab

，并證明這種運算滿足交換律和結(jié)合律；再結(jié)合（Ⅱ）可知A₉中僅有一項，再按定義先求出A₅，綜合即可得到A₉的可能結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）直接按定義來操作，當(dāng)取0，

1

2

時代入計算可得：A1；

1

3

，

1

2

；
當(dāng)取0，

1

3

時可得A₁：

1

2

，

1

3

；
當(dāng)取

1

2

，

1

3

時，可得A₁：0，

5

7

．
故有如下的三種可能結(jié)果：A1；

1

3

，

1

2

；A₁：

1

2

，

1

3

；A₁：0，

5

7

．…（3分）
（Ⅱ）因為對?a，b∈{x|-1＜x＜1}，有

a+b

1+ab

-1=

-(a-1)(b-1)

1+ab

＜0且

a+b

1+ab

-(-1)=

(a+1)(b+1)

1+ab

＞0
所以

a+b

1+ab

∈{x|-1＜x＜1}，
即每次操作后新數(shù)列仍是T數(shù)列．
又由于每次操作中都是增加一項，刪除兩項，
所以對T數(shù)列A每操作一次，項數(shù)就減少一項，
所以對n項的T數(shù)列A可進行（n-1）次操作（最后只剩下一項）…（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知A₉中僅有一項．
對于滿足a，b∈{x|-1＜x＜1}的實數(shù)a，b定義運算：a⊙b=

a+b

1+ab

，
下面證明這種運算滿足交換律和結(jié)合律．
因為a⊙b=

a+b

1+ab

，且b⊙a=

b+a

1+ba

，所以a⊙b=b⊙a，即該運算滿足交換律；
因為a⊙（b⊙c）=a⊙

b+c

1+bc

=

a+ b+c 1+bc

1+a• b+c 1+bc

=

a+b+c+abc

1+ab+bc+ac

且（a⊙b）⊙c=

a+b

1+ab

c=

a+b 1+ab +c

1+ a+b 1+ab •c

=

a+b+c+abc

1+ab+ac+bc

所以a⊙（b⊙c）=（a⊙b）⊙c，即該運算滿足結(jié)合律．
所以A₉中的項與實施的具體操作過程無關(guān)   …．…．（12分）
選擇如下操作過程求A₉：
由（Ⅰ）可知

1

2

⊙

1

3

=

5

7

；
易知-

5

7

⊙

5

7

=0，-

1

4

⊙

1

4

=0，-

1

5

⊙

1

5

=0，-

1

6

⊙

1

6

=0；
所以A₅：

5

6

，0，0，0，0．；
易知A₅經(jīng)過4次操作后剩下一項為

5

6

．
綜上可知：A₉：

5

6

．…（14分）

點評：本題是一道綜合性很強的題，解題時要認真審題，理解定義，并會用新定義來解題，仔細解答，避免錯誤．