Question

如圖，F₁，F₂為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，D，E是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率e=

3

2

，S△DEF2=1-

3

2

．若點M（x₀，y₀）在橢圓C上，則點N（

x0

a

，

y0

b

）稱為點M的一個“橢點”．直線l與橢圓交于A，B兩點，A，B兩點的“橢點”分別為P，Q，已知以PQ為直徑的圓經過坐標原點O．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）△AOB的面積是否為定值？若為定值，試求出該定值；若不為定值，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由離心率e=

3

2

，S△DEF2=1-

3

2

，可得

c

a

=

3

2

，

1

2

（a-c）b=1-

3

2

，又a²=b²+c²．聯立解得即可．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則P(

x1

2

，y1)，Q(

x2

2

，y2)．由

OP

⊥

OQ

，可得

OP

•

OQ

=

x1x2

4

+y1y2=0．（*）設直線l的方程為my+t=x，與橢圓方程聯立可得根與系數的關系，代入（*）可得m，t的關系，利用兩點間的距離公式可得|AB|，利用點的直線距離公式可得點O到直線AB的距離，利用三角形的面積計算公式即可得出定值．

解答：解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，S△DEF2=1-

3

2

，
∴

c

a

=

3

2

①，

1

2

（a-c）b=1-

3

2

②，又a²=b²+c²③．
由①②③組成方程組，解得a²=4，b²=1．
∴橢圓C的標準方程為

x2

4

+y2=1．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則P(

x1

2

，y1)，Q(

x2

2

，y2)．
∵

OP

⊥

OQ

，∴

OP

•

OQ

=

x1x2

4

+y1y2=0．（*）
設直線l的方程為my+t=x，聯立

my+t=x x2+4y2=4

，化為（4+m²）y²+2mty+t²-4=0，
∵直線l與橢圓相交于兩點，∴△=4m²t²-4（4+m²）（t²-4）＞0，化為m²+4＞t²．（**）
∴y1+y2=-

2mt

4+m2

，y1y2=

t2-4

4+m2

，
∴x₁x₂=（my₁+t）（my₂+t）=m2y1y2+mt(y1+y2)+t2，
代入（*）可得(m2+4)y1y2+mt(y1+y2)+t2=0．
∴t2-4-

2m2t2

4+m2

+t2=0，
∴t2=

4+m2

2

，代入（**）知成立．
|AB|=

(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(1+m2)[ 4m2t2 (4+m2)2 - 4(t2-4) 4+m2 ]

=

4 (1+m2)(4+m2-t2)

4+m2

．
點O到直線AB的距離d=

|t|

1+m2

．
又S_△AOB=

1

2

|AB|•d=2為定值．

點評：本題考查了直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立可得根與系數的關系、兩點間的距離公式、點的直線距離公式、三角形的面積計算公式、新定義、向量垂直與數量積的關系等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，考查了分析問題和解決問題的能力，屬于難題．