Question

已知函數

（1）當時，求的最小值；

（2）在區間（1,2）內任取兩個實數p，q，且p≠q,若不等式>1恒成立，求實數a的取值范圍；

（3）求證：（其中）。

 

Answer 1

（1）；（2）（3）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）求導，令導數大于0得增區間，令導數小于0得減區間，根據函數的單調性求其最小值。（2）因為，表示點與點連成的斜率，可將問題轉化為直線的斜率問題。根據導數的幾何意義可求其斜率，將恒成立問題轉化為求函數最值問題，求最值時還是用求導再求其單調性的方法求其最值。（3）由（2）可得，則有。用放縮法可證此不等式。

試題解析：【解析】
（1）

得

上遞減，上遞增。

。 4分

（2），

表示點與點連成的斜率，又，，即函數圖象在區間（2，3）任意兩點連線的斜率大于1，

即內恒成立. 6分

所以，當恒成立.

設

若

當上單調遞減；

當上單調遞增. 9分

又

故 10分

（3）由（2）得，

11分

所以

又

而

成立. 14分

考點：用導數研究函數的性質。