Question

已知定點A（12，0），M為曲線

x=6+2cosθ y=2sinθ

上的動點．
（1）若點P滿足條件

AP

=2

AM

，試求動點P的軌跡C的方程；
（2）若直線l：y=-x+a與曲線C相交于不同的E、F兩點，O為坐標原點且

OE

•

OF

=12，求∠EOF的余弦值和實數a的值．

Answer 1

分析：（1）利用坐標表示向量，利用條件

AP

=2

AM

，建立等式，從而可求動點P的軌跡C的方程；
（2）利用向量的數量積公式，可求cos∠EOF，利用點到直線的距離，可求參數的值．

解答：解：（1）設P的坐標為（x，y），則

AP

=(x-12，y)，

AM

=(-6+2cosθ，2sinθ)
∵

AP

=2

AM

∴（x-12，y）=2（-6+2cosθ，2sinθ）
∴

x=4cosθ y=4sinθ

（2）由

x=4cosθ y=4sinθ

，消去參數可得：x²+y²=16
表示以（0，0）為圓心，4 為半徑的圓
∵直線l：y=-x+a與曲線C相交于不同的E、F兩點，O為坐標原點且

OE

•

OF

=12，
∴4×4×cos∠EOF=12
∴cos∠EOF=

3

4

∴2cos2

∠EOF

2

-1=

3

4

∴cos

∠EOF

2

=

14

4

設圓心到直線的距離為d
∴cos

∠EOF

2

=

d

4

∴d=

14

圓心到直線l：y=-x+a的距離為：

|a|

2

=

14

∴a=±2

7

點評：本題重點考查參數方程，考查點到直線的距離公式的運用，屬于基礎題．