Question

已知函數f（x）=λx²+λx，g（x）=λx+lnx，h（x）=f（x）+g（x），其中λ∈R，且λ≠0．
（1）當λ=-1時，求函數g（x）的最大值；
（2）求函數h（x）的單調區間；
（3）設函數φ(x)=

f(x)，x≤0 g(x)，x＞0.

若對任意給定的非零實數x，存在非零實數t（t≠x），使得φ′（x）=φ′（t）成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：①令g′（x）=0求出根，判斷兩邊的符號，求出最值
②導數大于零求出單增區間，導數小于零求出單調遞減區間，注意單調區間一定在定義域內
③不等式恒成立就是求函數的最值，注意對參數的討論

解答：解：（1）當λ=-1時，g（x）=lnx-x，（x＞0）
∴g′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，(x＞0)
令g′（x）=0，則x=1，
∴g（x）=lnx-x在（0，1）上單調遞增，
在（1，+∞）上單調遞減
∴g（x）_max=g（1）=-1
（2）h（x）=λx²+2λx+lnx，
h′(x)=2λx+2λ+

1

x

=

2λx2+2λx+1

x

，（x＞0）
∴當λ＞0時，h'（x）＞0，∴函數h（x）的增區間為（0，+∞），
當λ＜0時，h′(x)=

2λ(x- -λ- λ2-2λ 2λ )(x- -λ+ λ2-2λ 2λ )

x

，
當x＞

-λ- λ2-2λ

2λ

時，h′（x）＜0，函數h（x）是減函數；
當0＜x＜

-λ- λ2-2λ

2λ

時，h′（x）＞0，函數h（x）是增函數．
綜上得，
當λ＞0時，h（x）的增區間為（0，+∞）；
當λ＜0時，h（x）的增區間為(0，

-λ- λ2-2λ

2λ

)，
減區間為(

-λ- λ2-2λ

2λ

，+∞)（10分）
（3）當x＞0，φ′(x)=λ+

1

x

在（0，+∞）上是減函數，
此時φ′（x）的取值集合A=（λ，+∞）；
當x＜0時，φ′（x）=2λx+λ，
若λ＞0時，φ′（x）在（-∞，0）上是增函數，
此時φ′（x）的取值集合B=（-∞，λ）；
若λ＜0時，φ′（x）在（-∞，0）上是減函數，
此時φ′（x）的取值集合B=（λ，+∞）．
對任意給定的非零實數x，
①當x＞0時，∵φ′（x）在（0，+∞）上是減函數，
則在（0，+∞）上不存在實數t（t≠x），使得φ′（x）=φ′（t），
則t∈（-∞，0），要在（-∞，0）上存在非零實數t（t≠x），
使得φ′（x）=φ′（t）成立，必定有A⊆B，∴λ＜0；
②當x＜0時，φ′（x）=2λx+λ在（-∞，0）時是單調函數，
則t∈（0，+∞），要在（0，+∞）上存在非零實數t（t≠x），
使得φ′（x）=φ′（t）成立，必定有B⊆A，∴λ＜0．
綜上得，實數λ的取值范圍為（-∞，0）．

點評：本題考查導數研究函數的最值，單調性，值域，屬于難題，在高考中常出現在解答題中最后兩題．