Question

正方體的棱長為，是它的內切球的一條弦（我們把球面上任意兩點之間的線段稱為球的弦），為正方體表面上的動點，當弦的長度最大時，的取值范圍是          ．

Answer 1

解析試題分析：當弦MN經過圓心時，弦MN最長，此時，MN=2,。以A^‘為原點，如圖，建立空間直角坐標，不妨設MN是上下底面對中心，則M(1,1,2),N(1,1,0),設P（x,y,z）,則，因為P為正方體面上的點，根據x,y,z的對稱性可知，的取值范圍與點P在那個面上無關。不妨設，點P在底面內，此時有0≤x≤2，0≤y≤2，z=0,所以此時，當x=y=1時，=0，此時最小。當點P位于正方形的頂點時，最大，此時有，所以最大為2.

考點：平面向量的數量積；空間直角坐標系。
點評：此題的難度較大，主要考查學生最值的求法，靈活應用空間直角坐標系，設出點的坐標，把幾何問題轉化為代數問題來解決。