Question

設雙曲線C：與直線l：x+y=1相交于兩個不同的點A、B，
（Ⅰ）求雙曲線C的離心率e的取值范圍：
（Ⅱ）設直線l與y軸的交點為P，且，求a的值。

Answer 1

解：（Ⅰ）由C與l相交于兩個不同的點，故知方程組有兩個不同的實數解，
消去y并整理得（1-a²）x²+2a²x-2a²=0， ①
所以，解得，
雙曲線的離心率，
∵，
∴，
即離心率e的取值范圍是。
（Ⅱ）設，
，
∴，由此得，
由于x₁，x₂都是方程①的根，且1-a²≠0，
所以，
消去x₂，得，
由a＞0，所以。