Question

已知函數f（x）=x²-（a+2）x+alnx，其中常數a＞0．
（1）當a＞2時，求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）當a=4時，若函數y=f（x）-m有三個不同的零點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導數f′（x），當a＞2時在函數定義域內解不等式f′（x）＞0即可．
（2）數形結合：當a=4時，用導數求出函數y=f（x）的極大值與極小值，畫出草圖，借助圖象即可求得m的取值范圍．

解答：解：（1）由f（x）=x²-（a+2）x+alnx可知，函數的定義域為{x|x＞0}，
且f′(x)=2x-(a+2)+

a

x

=

2x2-(a+2)x+a

x

=

(2x-a)(x-1)

x

因為a＞2，所以

a

2

＞1．
當0＜x＜1或x＞

a

2

時，f'（x）＞0；當1＜x＜

a

2

時，f'（x）＜0，
所以f（x）的單調遞增區間為(0，1)，(

a

2

，+∞)．
（2）當a=4時，f′(x)=

2(x-1)(x-2)

x

．
所以，當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調遞增	f（x）取極大值	單調遞減	f（x）取極小值	單調遞增

所以f(x)極大值=f(1)=12-6×1+4ln1=-5，f(x)極小值=f(2)=22-6×2+4ln2=4ln2-8．

函數f（x）的圖象大致如下：
所以若函數y=f（x）-m有三個不同的零點，
則m∈（4ln2-8，-5）．

點評：本題考查了導數的綜合應用，用導數求函數單調區間、求函數極值以及作圖能力，數形結合思想在解決本題中提供了有力保障．