Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，對任意n∈N^*，都有a_n＞0且S_n=

(an-1)(an+2)

2

，令b_n=

lnan+1

lnan

．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）使乘積b₁•b₂…b_k為整數的k（k∈N^*）叫“龍數”，求區間[1，2012]內的所有“龍數”之和．

Answer 1

分析：（1）由Sn=

(an-1)(an+2)

2

=

an2+an-2

2

，能夠推導出數列{a_n}是首項為2，公差為1的等差數列，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由bn=

lnan+1

lnan

=

ln(n+2)

ln(n+1)

，知b₁×b₂×…×b_k=log₂（k+2）．令log₂（k+2）=m，則k=2^m-2，（m為整數），由此能求出區間[1，2012]內的所有“龍數”之和．

解答：（1）解：由于Sn=

(an-1)(an+2)

2

=

an2+an-2

2

，
當n=1時，a₁=S₁=

a12+a1-2

2

，…（1分）
整理得a12-a1-2=0，
解得a₁=2或a₁=-1．
∵a_n＞0，
∴a₁=2．…（2分）
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

an2+an-2

2

-

an-12+an-1-2

2

，…（3分）
化簡得an2-an-12-an-an-1=0，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0．
∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=1．…（5分）
∴數列{a_n}是首項為2，公差為1的等差數列．
∴a_n=2+（n-1）=n+1．…（6分）
（2）解：∵bn=

lnan+1

lnan

=

ln(n+2)

ln(n+1)

，
∴b₁×b₂×…×b_k
=

ln3

ln2

×

lm4

ln3

×…×

ln(k+2)

ln(k+1)

=

ln(k+2)

ln2

=log₂（k+2）．…（8分）
令log₂（k+2）=m，則k=2^m-2，（m為整數），…（9分）
由1≤2^m-2≤2012，得3≤2^m≤2014，
∴m=1，2，3，4，…，10．
∴在區間[1，2012]內的k值為2²-2，2³-2，…，2¹⁰-2，…（10分）
其和為（2²-2）+（2³-2）+…+（2¹⁰-2）
=（2²+2³+…+2¹⁰）-2×9
=

22×(1-29)

1-2

-18
=2026．…（12分）

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查區間[1，2012]內的所有“龍數”之和的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．