Question

已知正三棱錐S－ABC的底面邊長為a，高為h，在正三棱錐內取一點M，試求點M到底面的距離小于的概率．

 

Answer 1

【答案】

解：如圖，在SA、SB、SC上取點A₁、B₁、C₁，使A₁、B₁、C₁分別為SA、SB、SC的中點，則當點M位于面ABC和面A₁B₁C₁之間時，點M到底面的距離小于.設△ABC的面積為S，由△ABC∽△A₁B₁C₁且相似比為2，得△A₁B₁C₁的面積為.由題意，三棱椎S－ABC的體積為Sh，三棱臺A₁B₁C₁－ABC的體積為Sh－··＝Sh·.故P＝.

 

【解析】解：如圖，在SA、SB、SC上取點A₁、B₁、C₁，使A₁、B₁、C₁分別為SA、SB、SC的中點，則當點M位于面ABC和面A₁B₁C₁之間時，點M到底面的距離小于.設△ABC的面積為S，由△ABC∽△A₁B₁C₁且相似比為2，得△A₁B₁C₁的面積為.由題意，三棱椎S－ABC的體積為Sh，三棱臺A₁B₁C₁－ABC的體積為Sh－··＝Sh·.故P＝c.