Question

已知函數f(x)=log4(4x+1)+kx（k∈R）是偶函數．
（Ⅰ）求實數k的值；
（Ⅱ）證明：對任意的實數b，函數y=f（x）的圖象與直線y=-

3

2

x+b最多只有一個公共點；
（Ⅲ）設g(x)=log4(a•2x-

4

3

a)，若f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（-x）=f（x）恒成立，可得log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx，所以有（1+2k）x=0對一切x∈R恒成立，從而求得k的值．
（Ⅱ）利用函數的單調性的定義證明y=f(x)+

3

2

x=log4(4x+1)+x在定義域R上是單調增函數，對任意的實數b，函數y=f（x）的圖象與直線y=-

3

2

x+b最多只有一個公共點，從而證得結論．
（Ⅲ）函數f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，化簡得方程2x+

1

2x

=a•2x-

4

3

a有且只有一個實根．令t=2^x（t＞0），則方程(a-1)t2-

4

3

at-1=0有且只有一個正實根．分（1）當a=1時和（2）當a≠1時兩種情況，分別求得t的值，可得結論．

解答：解：（Ⅰ）由函數f（x）是偶函數可知f（-x）=f（x）恒成立，所以log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx，所以有（1+2k）x=0對一切x∈R恒成立，故k=-

1

2

，
從而f(x)=log4(4x+1)-

1

2

x．
（Ⅱ）由題意可知，只要證明y=f(x)+

3

2

x=log4(4x+1)+x在定義域R上是單調函數即可．
證明：設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，那么f(x1)-f(x2)=[log4(4x1+1)+x1]-[log4(4x2+1)+x2]=log4

4x1+1

4x2+1

+x1-x2，
因為x₁＜x₂，
所以0＜4x1＜4x2，x₁-x₂＜0，0＜

4x1+1

4x2+1

＜1，log4

4x1+1

4x2+1

＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，
故函數y=f(x)+

3

2

x在定義域R上是單調增函數．
對任意的實數b，函數y=f（x）的圖象與直線y=-

3

2

x+b最多只有一個公共點．
（Ⅲ）函數f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，
即方程log4(4x+1)-

1

2

x=log4(a•2x-

4

3

a)有且只有一個實根，
化簡得方程2x+

1

2x

=a•2x-

4

3

a有且只有一個實根．
令t=2^x（t＞0），則方程(a-1)t2-

4

3

at-1=0有且只有一個正實根．
（1）當a=1時，解得t=-

3

4

，不合題意；
（2）當a≠1時，由△=0，得a=

3

4

或a=-3；
而當a=

3

4

時，解得t=-2，不合題意；
當a=-3時，解得t=

1

2

，滿足題意．
綜上所述，實數a的取值范圍是a=-3．

點評：本題主要考查函數的單調性、奇偶性的應用，體現了轉化以及分類討論的數學思想，屬于中檔題．