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設數列{an}的首項a1=1且前n項和為Sn．已知向量
a
=(1，an)，
b
=(an+1，
1
2
)滿足
a
⊥
b
，則
lim
n→∞
Sn=
2
3
2
3
．
分析：利用向量的垂直關系，可知其數量積為0，進而可得出數列{an}是以首項a1=1，公比為-
1
2
的等比數列，由于公比的絕對值小于1，故易求．
解答：解：由題意，∵
a
⊥
b
，∴
a
•
b
= 0，∴an+1=-
1
2
an
即數列{an}是以首項a1=1，公比為-
1
2
的等比數列，
∴
lim
n→∞
Sn=
1
1+
1
2
=
2
3

故答案為
2
3
點評：本題的考點是數列的極限，主要考查無窮等比數列的求和問題，關鍵是利用向量的垂直關系得出數列是無窮等比數列，進而再求和．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設數列{an}的首項a1=
3
2
，前n項和為Sn，且滿足2an+1+Sn=3（ n∈N*）．
（Ⅰ）求a2及an；
（Ⅱ）求滿足
18
17
＜
S2n
Sn
＜
8
7
的所有n的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設數列{an}的首項a1=a≠
1
4
，且an+1=
1
2
an		(n為偶數)
an+
1
4
(n為奇數)
，n∈N*，記bn=a2n-1-
1
4
，cn=
sinn
|sinn|
bn，n∈N*．
（1）求a2，a3；
（2）判斷數列{bn}是否為等比數列，并證明你的結論；
（3）當a＞
1
4
時，數列{cn}前n項和為Sn，求Sn最值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設數列{an}的首項a1=
1
2
，且an+1=
2an
1+an
（n∈N*）．
（1）求a2，a3，a4；
（2）根據上述結果猜想數列{an}的通項公式，并用數學歸納法加以證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•昌平區二模）設數列{an}的首項a1=-
1
2
，前n項和為Sn，且對任意n，m∈N*都有
Sn
Sm
=
n(3n-5)
m(3m-5)
，數列{an}中的部分項{abk}(k∈N*）成等比數列，且b1=2，b2=4．
（Ⅰ）求數列{an}與{bn}與的通項公式；
（Ⅱ）令f(n)=
1
bn+1
，并用x代替n得函數f（x），設f（x）的定義域為R，記cn=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)(n∈N*)，求
n
i=1
1
cici+1
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設數列{an}的首項a1=
5
4
，且an+1=
1
2
an，n為偶數
an+
1
4
，n為奇數
，記bn=a2n-1-
1
4
，n=1，2，3，…
（Ⅰ）求數列{bn}的通項公式；
（Ⅱ）若設數列{cn}的前n項和為Sn，cn=nbn，求Sn．

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