Question

在直角坐標平面中，△ABC的兩個頂點的坐標分別為A(-

7

7

a，0)，B(

7

7

a，0)(a＞0)，兩動點M、N滿足

MA

+

MB

+

MC

=

0

，|

NC

|=

7

|

NA

|=

7

|

NB

|，向量

MN

與

AB

共線．
（1）求△ABC的頂點C的軌跡方程；
（2）若過點P（0，a）的直線與（1）的軌跡相交于E、F兩點，求

PE

•

PF

的取值范圍．
（3）若G（-a，0），H（2a，0），θ為C點的軌跡在第一象限內的任意一點，則是否存在常數λ（λ＞0），使得∠QHG=λ∠QGH恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先設出點C的坐標，根據△ABC的重心的充要條件表示出點M的坐標，再根據點A和B坐標以及距離的關系求出點N的坐標，由兩點之間的距離公式代入|

NC

|=

7

|

NA

|，進行化簡求出點C的軌跡方程；
（2）由題意設出點E、F和直線的方程，聯立直線方程和軌跡方程，消去y得到關于x的二次方程，根據韋達定理列出兩根和以及積的式子，由判別式的符號求出k²-3的范圍，根據向量數量積的坐標運算列出

PE

•

PF

關于k的式子，根據求出的范圍，即求出

PE

•

PF

的范圍；
（3）設出Q的坐標并代入軌跡方程，由特殊情況QH⊥x軸求出λ的值，根據點G和H坐標求出兩個角的正切值，由兩個角的范圍和正切值進行判斷是否成立．

解答：（1）設C（x，y），由

MA

+

MB

+

MC

=0知，
∴M是△ABC的重心，∴M(

x

3

，

y

3

)．
∵|

NA

|=|

NB

|且向量

MN

與

AB

共線，∴N在邊AB的中垂線上，
∵A(-

7

7

a，0)，B(

7

7

a，0)(a＞0)，∴N(0，

y

3

)，
又∵|

NC

|=

7

|

NA

|，∴x2+

4

9

y2=7(

a2

7

+

y2

9

)，化簡得x2-

y2

3

=a2，
即所求的軌跡方程是x2-

y2

3

=a2．
（2）設E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂），過點P（0，a）的直線方程為y=kx+a，
代入x2-

y2

3

=a2得（3-k²）x²-2akx-4a²=0，
∴x1+x2=

2ak

3-k2

，x1x2=

-4a2

3-k2

，且△=4a²k²+16a²（3-k²）＞0，解得k²＜4．
∴k²-3＜1，則

4

k2-3

＞4或

4

k2-3

＜0，
∴

PE

•

PF

=(x1，y1-a)•(x2，y2-a)=x1x2+kx1•kx2=(1+k2)x1x2=

-4a2(1+k2)

3-k2

=4a2(1+

4

k2-3

)，
則

PE

•

PF

的取值范圍是（-∞，4a²）∪（20a²，+∞）．
（3）設Q（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），則

x

2 0

-

y 2 0

3

=a2，即y₀²=3（x₀²-a₀²）．
當QH⊥x軸時，x₀=2a，y₀=3a，∴∠QGH=

π

4

，即∠QHG=2QGH，故猜想λ=2．
當QH不垂直x軸時，tan∠QHG=-

y0

x0-2a

，tan∠QGH=

y0

x0+a

，
∴tan2∠QGH=

2tan∠QGH

1-tan2∠QGH

=

2y0 x0+a

1-( y0 x0+a )2

=-

y0

x0-2a

=tan∠QHG．
又2∠QGH與∠QHG同在(0，

π

2

)∪(

π

2

，π)內，
∴2∠QGH=∠QHG．
故存在λ=2，使2∠QGH=∠QHG恒成立．

點評：本題考查了軌跡方程的求法以及向量數量積的坐標，利用△ABC的重心的充要條件和距離公式求出軌跡方程，主要利用解析法中的設而不求思想，即根據題意列出方程組，根據韋達定理和判別式列出式子，把式子整體代入進行化簡，此題綜合性強，涉及的知識多，考查了分析問題和解決問題的能力．