Question

已知函數為偶函數，為奇函數，其中a、b為常數，則（a+b）+（a²+b²）+（a³+b³）+…+（a¹⁰⁰+b¹⁰⁰）=    ．

Answer 1

【答案】分析：由奇偶函數的定義列出關于a、b的方程組，求出它們的和與積的值，在轉化為對應一元二次方程的根，進而求出復數a和b，再利用和與積的值和a³=b³=1求出a²+b²，a³+b³，a⁴+b⁴等，找出具有周期性T為3，再利用周期性求出式子的和．
解答：解：∵f（x）為偶函數，g（x）為奇函數，
∴，
即 ，
解得 ；
∴復數a、b是方程x²+x+1=0的兩個根，
解得，a=-+i，b=--i；
∴a³=b³=1
已知a+b=-1，ab=1；則a²+b²=（a+b）²-2ab=-1，a³+b³=2，
同理可求a⁴+b⁴=-1，a⁵+b⁵=-1，a⁶+b⁶=2，…，歸納出有周期性且T=3，
∴（a+b）+（a²+b²）+（a³+b³）+…+（a¹⁰⁰+b¹⁰⁰）=99[（a+b）+（a²+b²）+（a³+b³）]+（a+b）=-1．
故答案為：-1．
點評：本題考查了奇（偶）函數的定義和復數的運算，再求復數的值時用到轉化思想，求和式的值時利用a³=b³=1找出每項的和的周期，利用周期性求所求和式的值．