Question

函數f（x）=

x2+1

ax+b

（a，b為常數），且方程f（x）-x-1=0有兩實根為x₁=0，x₂=1．
（1）求f（x）解析式
（2）設k＞0，解關于x不等式：f（x）＜（k+

1

k

）x．

Answer 1

分析：（1）根據方程f（x）-x-1=0有兩實根為x₁=0，x₂=1，代入方程，求出a，b的值，即可得到函數解析式；
（2）分類討論，比較方程根的大小，即可得到結論．

解答：解：（1）∵方程f（x）-x-1=0有兩實根為x₁=0，x₂=1，
∴

1

b

-1=0，

2

a+b

-2=0
∴b=1，a=0，
∴f（x）=x²+1；
（2）由題意，x²+1＜（k+

1

k

）x
∴(x-k)(x-

1

k

)＜0
∴0＜k＜1時，k＜

1

k

，不等式的解集為（k，

1

k

）；
k=1時，k=

1

k

，不等式的解集為∅；
k＞1時，k＞

1

k

，不等式的解集為（

1

k

，k）．

點評：本題考查函數解析式的確定，考查解不等式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．