Question

（1）試畫出由方程

lg(6-x)+lg(x-2)+lo g   1 10 (x-2)

lg2y

=

1

2

所確定的函數y=f（x）圖象．
（2）若函數y=ax+

1

2

與y=f（x）的圖象恰有一個公共點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）通過方程確定x，y的范圍，然后化簡方程為函數畫出函數的圖象即可．
（2）通過直線y=ax+

1

2

經過點A（2，8）時，直線y=ax+

1

2

經過點B(5，

1

2

)時，求出a的范圍，說明直線y=ax+

1

2

與f（x） 的圖象也恰有一個公共點．直線y=ax+

1

2

與上述拋物線BC弧有一切點，求出a．

解答：解：（1）易知x∈（2，6），y≠

1

2

．原方程可變為lg（6-x）=

1

2

lg2y，由此得y=

1

2

（x-6）²．注意到y≠

1

2

，
故函數y=f（x）=

1

2

（x-6）²，x∈（2，5）∪（5，6），其中圖象是拋物線的一部分．
（2）當直線y=ax+

1

2

經過點A（2，8）時，a=

15

4

，當直線
y=ax+

1

2

經過點B(5，

1

2

)時，a=0，故當0＜a＜

15

4

時
與拋物線的AB弧恰有一個公共點．
同理，當-

1

12

≤a＜0時，直線y=ax+

1

2

與f（x） 的圖象也恰有一個公共點．
此外，直線y=ax+

1

2

與上述拋物線BC弧有一切點，其橫坐標為

35

，此時a=

35

-6．
綜上所述，a的取值范圍為[-

1

12

，0)∪(0，

15

4

)∪{

35

-6}．

點評：本題考查函數的圖象，函數與方程關系，函數的定義域與值域，分類討論思想與數形結合知識，考查分析問題解決問題的能力，容易出現定義域遺漏，直線與方程的交點討論不全的情況．