Question

設函數，其中，為正整數，，，均為常數，曲線在處的切線方程為.
（1）求，，的值；     
（2）求函數的最大值；
（3）證明：對任意的都有.（為自然對數的底）

Answer 1

（1）;（2）;（3）見解析.

試題分析：（1）在切點處的的函數值 ，就是切線的斜率為，可得；根據切點適合切線方程、曲線方程，可得，.
（2）求導數，求駐點，討論區間函數單調性，確定最值.
（3）本小題有多種思路，一是要證對任意的都有只需證；
二是令，利用導數確定，
轉化得到．
令，證明．
（1）因為，                     1分
所以 ，又因為切線的斜率為，所以       2分
，由點（1,c）在直線上，可得，即        3分
                               4分
（2）由（1）知，，所以
令，解得，即在（0，+上有唯一零點       5分
當0<<時，，故在（0，）上單調遞增；          6分
當>時，，故在（，+上單調遞減；           7分
在（0，+上的最大值===     8分
（3）證法1：要證對任意的都有只需證
由（2）知在上有最大值，= ，故只需證   9分
，即 ①                      11分
令，則，①即 ②               13分
令，則
顯然當0<t<1時，，所以在（0，1）上單調遞增，
所以，即對任意的 ②恒成立，
所以對任意的都有    14分
證法2：令，則．           10分
當時，，故在上單調遞減；
而當時，，故在上單調遞增．
在上有最小值，．
，即.                        12分
令，得，即，所以，即.
由（2）知，，故所證不等式成立．                14分