Question

給出下列命題：
①函數y=sin（

2

3

x+

7π

2

）是偶函數；
②函數y=2^|x|的最小值是1；
③函數y=ln（x²+1）的值域是R；
④函數y=sin2x的圖象向左平移

π

4

個單位，得到y=sin（2x+

π

4

）的圖象
⑤函數f（x）=2^x-x²只有兩個零點；
其中正確命題的序號是

①②⑤

．

Answer 1

分析：根據三角函數的誘導公式，結合余弦函數為偶函數得到①正確；根據絕對值非負的性質和指數函數的單調性，可得②正確；根據平方非負的性質和對數函數的單調性，可得③不正確；根據函數圖象平移的公式，可得④不正確；根據指數函數y=2^x與二次函數y=x²的圖象，可得函數f（x）=2^x-x²有3個零點，故⑤不正確．

解答：解：因為sin（

2

3

x+

7π

2

）=-cos

2

3

x，
所以函數y=sin（

2

3

x+

7π

2

）即y=-cos

2

3

x，是定義域上的偶函數，故①正確；
因為|x|≥0，可得y=2^|x|≥2⁰=1，故函數y=2^|x|的最小值是1，得②正確；
因為x²+1≥1，可得ln（x²+1）≥0，得函數y=ln（x²+1）的值域是[0，+∞），不是R，故③不正確；
將函數y=sin2x的圖象向左平移

π

4

個單位，
到y=sin2（x+

π

4

）=sin（2x+

π

2

）的圖象，而不是y=sin（2x+

π

4

）的圖象，故④不正確；
對于⑤，因為函數ff（x）=2^x-x²的零點除了2和4，還有一個負數
所以函數f（x）=2^x-x²有3個零點，故⑤不正確
因此，正確命題的序號為①②⑤
故答案為：①②⑤

點評：本題以命題真假的判斷為載體，著重考查了余弦函數的奇偶性、指對數函數的圖象與性質、函數的值域求法和函數圖象平移公式等知識，屬于中檔題．