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函數f（x ）=αsin
πx
2
+bcos
πx
2
的一個零點為
1
3
，且f（
17
15
）＞f（
11
6
）＞0，對于下列結論：
①f（
7
3
）=0；②．f（x）≤f(
4
3
)；③．f(
13
12
) =f(
19
12
)；
④f（x）的單調減區間是[2k-
2
3
，2k+
4
3
] ，(k∈R)；
⑤f（x）的單調增區間是[4K+
10
3
，4K+
16
3
]  ，(k∈Z)．
其中正確的有
①②③⑤
①②③⑤
．（寫出所有正確結論的編號）
分析：利用輔助角公式化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，利用周期、零點求出輔助角，畫出函數的圖象，判斷①②③④⑤，即可得到正確選項．
解答：解：函數f（x ）=asin
πx
2
+bcos
πx
2
=
a2+b2
sin（
πx
2
+θ）其中tanθ=
b
a
，
因為函數f（x）的周期為4，一個零點為
1
3
，
所以
π
6
+θ=0，θ=-
π
6
，所以函數f（x ）=
a2+b2
sin（
πx
2
-
π
6
），f（
17
15
）＞f（
11
6
）＞0，畫出圖象，
所以①正確；
②．f(
4
3
)=
a2+b2
sin(
2π
3
-
π
6
) =
a2+b2
，所以f（x）≤f(
4
3
)；正確．
③f(
13
12
) =
a2+b2
sin
9π
24
，
f(
19
12
)=
a2+b2
sin
15π
24
=
a2+b2
sin
9π
24
，所以f(
13
12
) =f(
19
12
)正確；
因為
πx
2
-
π
6
∈[2kπ+
π
2
，2kπ+
3π
2
]，k∈Z，
所以x∈[2k-
2
3
，2k+
4
3
] ，(k∈R)函數不是減函數，④不正確；
因為
πx
2
-
π
6
∈[2kπ-
π
2
，2kπ+
π
2
]k∈Z，
所以x∈[4K+
10
3
，4K+
16
3
]  ，(k∈Z)函數是增函數，⑤正確．
故答案為：①②③⑤．
點評：本題是中檔題，考查三角函數的化簡求值，函數的周期、單調性的應用，考查計算能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

給出下列命題：
①y=x2是冪函數        
②函數f（x）=2x-x2的零點有2個
③(x2+
1
x2
+2)5展開式的項數是6項
④函數y=sinx（x∈[-π，π]）圖象與x軸圍成的圖形的面積是S=
∫
π
-π
sinxdx
⑤若ξ～N（1，σ2），且P（0≤ξ≤1）=0.3，則P（ξ≥2）=0.2
其中真命題的序號是
 
（寫出所有正確命題的編號）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
1(1-x)n
，g（x）=aln（x-1），其中n∈N*，a為常數．
（1）當n=2時，求函數F（x）=f（x）+g（x）的極值；
（2）若對任意的正整數n，當s≥2，x≥2時，f（s）+g（x）≤x-1．求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

以O為原點，
OF
所在直線為x軸，建立直角坐標系．設
OF
•
FG
=1，點F的坐標為（t，0），t∈[3，+∞）．點G的坐標為（x0，y0）．
（1）求x0關于t的函數x0=f（t）的表達式，并判斷函數f（x）的單調性．
（2）設△OFG的面積S=
31
6
t，若O以為中心，F，為焦點的橢圓經過點G，求當|
OG
|取最小值時橢圓的方程．
（3）在（2）的條件下，若點P的坐標為(0，
9
2
)，C，D是橢圓上的兩點，
PC
=λ
PD
(λ≠1)，求實數λ的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•湖北）設n是正整數，r為正有理數．
（Ⅰ）求函數f（x）=（1+x）r+1-（r+1）x-1（x＞-1）的最小值；
（Ⅱ）證明：
nr+1-(n-1)r+1
r+1
＜nr＜
(n+1)r+1-nr+1
r+1
；
（Ⅲ）設x∈R，記[x]為不小于x的最小整數，例如[2]=2，[π]=4，[-
3
2
]=-1．令S=
381
+
382
+
383
+…+
3125
，求[S]的值．
（參考數據：80
4
3
≈344.7，81
4
3
≈350.5，124
4
3
≈618.3，126
4
3
≈631.7)．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網選作題：考生任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．
A 如圖，△ABC的角平分線AD的延長線交它的外接圓于點E．
（I）證明：△ABE∽△ADC
（II）若△ABC的面積S=
1
2
AD•AE，求∠BAC的大小．
B 已知曲線C1：
x=-4+cost
y=3+sint
（t為參數），C2：
x=8cosθ
y=3sinθ
（θ為參數）．
（1）化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；
（2）若C1上的點P對應的參數為t=
π
2
，Q為C2上的動點，求PQ中點M到直線C3：
x=3+2t
y=-2+t
（t為參數）距離的最小值．                
C 已知函數f（x）=|x-a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集為{x|-1≤x≤5}，求實數a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若f（x）+f（x+5）≥m對一切實數x恒成立，求實數m的取值范圍．

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同步練習冊答案