Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞

a2-b2

＞0)的左、右焦點分別為F₁、F₂，上、下頂點分別為B₁、B₂，四邊形B₁F₁B₂F₂的一個內角等于

π

3

，橢圓過點P（1，

3

2

）．
（1）求橢圓E的方程；
（2）直線l的斜率等于橢圓E的離心率，且交橢圓于A、B兩點，直線PA和PB分別交x軸于點M、N，求證：|PM|=|PN|．

Answer 1

分析：（1）由b＞

a2-b2

=c，知∠F1B1F2=

π

3

，所以

b

a

=cos

π

6

=

3

2

，設所求橢圓方程為

3x2

4b2

+

y2

b2

=1，把點P（1，

3

2

）代入，能求出橢圓方程．
（2）c=

a2-b2

=1，離心率e=

1

2

，設直線l的方程為y=

1

2

x+m，代入橢圓方程，得x²+mx+m²-3=0，所以x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-3，要證|PM|=|PN|，只需證直線PA的斜率k₁與直線PB的斜率k₂互為相反數．

解答：解：（1）由b＞

a2-b2

=c，
知∠F1B1F2=

π

3

，
∴

b

a

=cos

π

6

=

3

2

，
設所求橢圓方程為

3x2

4b2

+

y2

b2

=1，
把點P（1，

3

2

）代入，得b²=3，a²=4，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）c=

a2-b2

=1，離心率e=

1

2

，
設直線l的方程為y=

1

2

x+m，
代入橢圓方程，整理得x²+mx+m²-3=0，
∴x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-3，
要證|PM|=|PN|，只需證直線PA的斜率k₁與直線PB的斜率k₂互為相反數，
k₁+k₂=

y1- 3 2

x1-1

+

y2- 3 2

x2-1

=

(2y1-3)(x2-1)+(2y2-3)(x1-1)

2(x1-1)(x2-1)

∵（2y₁-3）（x₂-1）+（2y₂-3）（x₁-1）
=（x₁+2m-3）（x₂-1）+（x₂+2m-3）（x₁-1）
=2x₁x₂+（2m-4）（x₁+x₂）+6-4m
=2（m²-3）+（2m-4）（-m）+6-4m=0
所以，k₁+k₂=0，
因此|PM|=|PN|．

點評：通過幾何量的轉化考查用待定系數法求曲線方程的能力，通過直線與圓錐曲線的位置關系處理，考查學生的運算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學生分析轉化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現了合理消元，設而不解的代數變形的思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．