Question

已知橢圓C：＝1(a>b>0)經過點M(－2，－1)，離心率為.過點M作傾斜角互補的兩條直線分別與橢圓C交于異于M的另外兩點P、Q.
(1)求橢圓C的方程；
(2)試判斷直線PQ的斜率是否為定值，證明你的結論．

Answer 1

（1）＝1.（2）PQ的斜率為定值1

(1)由題設，得＝1，①且＝，②
由①、②解得a²＝6，b²＝3，故橢圓C的方程為＝1.
(2)設直線MP的斜率為k，則直線MQ的斜率為－k，
假設∠PMQ為直角，則k·(－k)＝－1，即k＝±1.
若k＝1，則直線MQ的方程為y＋1＝－(x＋2)，與橢圓C方程聯立，得x²＋4x＋4＝0，
該方程有兩個相等的實數根－2，不合題意；
同理，若k＝－1也不合題意．故∠PMQ不可能為直角．記P(x₁，y₁)、Q(x₂，y₂)．
設直線MP的方程為y＋1＝k(x＋2)，與橢圓C的方程聯立，得(1＋2k²)x²＋(8k²－4k)x＋8k²－8k－4＝0，
則－2，x₁是該方程的兩根，則－2x₁＝，即x₁＝.
設直線MQ的方程為y＋1＝－k(x＋2)，同理得x₂＝.
因y₁＋1＝k(x₁＋2)，y₂＋1＝－k(x₂＋2)，
故k_PQ＝＝1，
因此直線PQ的斜率為定值．