Question

(本小題滿分14分)已知， 且，記在內(nèi)零點為.

（1）求當取得極大值時，與的夾角θ.

（2）求的解集.

（3）求當函數(shù)取得最小值時的值，并指出向量與的位置關(guān)系.

 

Answer 1

【答案】

（1）；

（2）的解集為；

（3）是在內(nèi)的極小值點.且為唯一極值，即為最小值.此時

 。

【解析】

試題分析：（1）先求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)的正負來判定函數(shù)的單調(diào)性，進而確定極值，求解得到

（2）知是在內(nèi)的極大值點.

且.從而得到到導(dǎo)數(shù)的正負滿足的x的范圍，得到證明。

(3)構(gòu)造函數(shù)，求解導(dǎo)數(shù)得到最值。

解（1）：，

，則單調(diào)遞增；

當，則單調(diào)遞減.

是在內(nèi)的極大值點   ……4分

此時

             ……6分

（2）由（1）知是在內(nèi)的極大值點.

且.

時，且，得 

時，，即的解集為   ……9分

（3）令

因為                    ……10分

，得，則單調(diào)遞減；

當，得，則單調(diào)遞增.

是在內(nèi)的極小值點.且為唯一極值，即為最小值. ……13分

此時，即             ……14分

考點：本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用，求解最值和向量數(shù)量積的運用。

點評：解決該試題的關(guān)鍵是能利用已知中導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性，進而求解極值，同時得到向量的夾角的求解運用。而構(gòu)造函數(shù)求解導(dǎo)數(shù)，分析單調(diào)性得到最值，使我們解決導(dǎo)數(shù)問題中常見的比較重要的題型之一。