Question

已知直線l：x=-2，l與x軸交于點A，動點M（x，y）到直線l的距離比到點F（1，0）的距離大1．
（Ⅰ）求點M的軌跡E的方程；
（Ⅱ）過點A作直線交曲線E于B，C兩點，若

AB

=2

BC

，求此直線的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，動點M（x，y）到直線x=-1和點N（1，0）的距離相等，可得等式，進而整理方程可得點M的軌跡E的方程為y²=4x．
（Ⅱ）設B（x₁，y₁）C（x₂，y₂），表示出向量的等式

AB

=2

BC

得，y₁=2（y₂-y₁），即

y2

y1

=

3

2

，所以

x2

x1

=

9

4

，聯立直線與橢圓的方程并且結合根與系數的關系可得y=x1+x2=

4-4k2

k2

，x₁x₂=4，即可得到k2=

12

25

，進而求出直線方程．

解答：解：（Ⅰ）依題意，動點M（x，y）到直線x=-1和點N（1，0）的距離相等，
所以

(x-1)2+y2

=|x+1|，
即y²=4x．
所以點M的軌跡E的方程y²=4x．
（Ⅱ）設B（x₁，y₁）C（x₂，y₂），則y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
所以

AB

=(x1+2，y1)，

BC

=(x2-x1，y2-y1)．
由

AB

=2

BC

得，y₁=2（y₂-y₁），即

y2

y1

=

3

2

，所以

x2

x1

=

9

4

…①
設直線AB的方程為y=k（x+2），（k≠0），

y=k(x+2) y2=4x

消去y，得k²x²+4（k²-1）x+4k²=0，
由根與系數的關系得：x1+x2=

4-4k2

k2

…②
x₁x₂=4…③
由①、③得，x1=

4

3

，x2=3，代入②，得k2=

12

25

，
所以k=±

2 3

5

．
所以所求直線方程為y=±

2 3

5

（x+2）．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握拋物線的定義，以及掌握根與系數的關系并且熟練的利用向量的有關知識解決問題．