Question

（2012•江蘇三模）選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣M

2 1 3 4

（1）求矩陣M的逆矩陣；
（2）求矩陣M的特征值及特征向量．

Answer 1

分析：（1）先求矩陣M的行列式，進而可求其逆矩陣，
（2）令矩陣M的特征多項式等于0，即可求得矩陣M的特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應的特征向量．

解答：解：（1）矩陣的行列式為

.

2 1 3 4

.

=8-3=5，
∴求矩陣M的逆矩陣M^-1=

4 5 - 1 5 - 3 5 2 5

．…（4分）
（2）矩陣A的特征多項式為矩陣M的特征多項式為f（λ）=

.

λ-2 -1 -3 λ-4

.

=λ²-6λ-5，
令f（λ）=0，得矩陣M的特征值為1或5，…（6分）
當λ=1時 由二元一次方程

-x-y=0 -3x-3y=0

得x+y=0，令x=1，則y=-1，
所以特征值λ=1對應的特征向量為

α1

=

1 -1

．…（8分）
當λ=5時 由二元一次方程

3x-y=0 -3x+y=0

得3x-y=0，
令x=1，則y=3，
所以特征值λ=5對應的特征向量為

α2

=

1 3

．…（10分）

點評：本題以矩陣為載體，考查矩陣的逆矩陣，考查矩陣M的特征值及特征向量，關鍵是求其行列式，正確寫出矩陣M的特征多項式．