Question

如圖，已知兩定點A（1，0），B（4，0），坐標xOy平面內的動點M滿足2|

AM

|=|

BM

|．
（Ⅰ）求動點M的軌跡C的方程并畫出草圖；
（Ⅱ）是否存在過點A的直線n，使得直線n與曲線C相交于P，Q兩點，且△PBQ的面積等于2

5

？如果存在，請求出直線n的方程；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設M（x，y），分別表示出|

AM

|=

(x-1)2+y2

，|

BM

|=

(x-4)2+y2

，代入2|

AM

|=|

BM

|化簡，
即得軌跡C的方程；
（Ⅱ）求直線方程分斜率存在于不存在，進行討論．（i）若直線n的斜率不存在時，不符合；
（ii）若直線n的斜率為k時，直線n的方程設為y=k（x-1），與圓的方程聯立，消去y，可得（1+k²）x²-2k²x+k²-4=0，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），從而可求 |PQ|=

1+k2

|x1-x2|=

2 3k2+4

1+k2

，點B到直線n的距離d=

|3k|

k2+1

，利用△PBQ的面積等于2

5

，即可求得直線方程．

解答：解：（Ⅰ）設M（x，y），則|

AM

|=

(x-1)2+y2

，|

BM

|=

(x-4)2+y2

，代入2|

AM

|=|

BM

|得，2

(x-1)2+y2

=

(x-4)2+y2

，
化簡即得曲線C的方程為x²+y²=4，草圖如圖所示．-----（5分）
（Ⅱ）（i）若直線n的斜率不存在時，此時點P(1 ， -

3

)，Q(1 ， 

3

)，△PBQ的面積等于3

3

，不符合；-----------（6分）
（ii）若直線n的斜率為k時，直線n的方程設為y=k（x-1），
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
聯立

y=k(x-1) x2+y2=4

，得（1+k²）x²-2k²x+k²-4=0，
則x1+x2=

2k2

1+k2

，x1x2=

k2-4

1+k2

，
∴|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 3k2+4

1+k2

，
所以 |PQ|=

1+k2

|x1-x2|=

2 3k2+4

1+k2

，
點B到直線n的距離d=

|3k|

k2+1

，
所以△PBQ的面積等于

1

2

•

2 3k2+4

1+k2

•

|3k|

1+k2

=2

5

，解之k=±

2

，
故存在直線n為y=±

2

(x-1)．-------------（12分）

點評：本題以軌跡為載體，考查軌跡方程的求法，考查是否存在性問題，解題的關鍵是設點、列式、化簡，對于存在性命題，通常轉化為封閉性命題求解．