Question

(本小題滿分13分)

已知數列的相鄰兩項是關于的方程的兩根，且

（1）求證：數列是等比數列；

（2）求數列的前項和；

（3）設函數若對任意的都成立，求的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）∵a_n+a_n+1=2ⁿ

。

（2）；（3）t<1。

【解析】

試題分析：（1）∵a_n+a_n+1=2ⁿ

 （3分）

（2）S_n=a₁+a₂+……+a_n

（6分）

（3）b_n=a_n·a_n+1

∴當n為奇數時

     （9分）

當n為偶數時

（12分）

綜上所述，t的取值范圍為t<1                     （13分）

考點：等比數列的定義；數列通項公式的求法；數列前n項和的求法。

點評：若已知遞推公式為的形式求通項公式常用累加法。

注：①若是關于n的一次函數，累加后可轉化為等差數列求和;

②若是關于n的二次函數，累加后可分組求和;

③是關于n的指數函數，累加后可轉化為等比數列求和;

④是關于n的分式函數，累加后可裂項求和。