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已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），經過點（3，-2）與向量（-1，1）平行的直線l交橢圓C于A，B兩點，交x軸于M點，又
AM
=2
MB
．
（Ⅰ）求橢圓C長軸長的取值范圍；
（Ⅱ）若|
AB
|=
3
2
2
，求橢圓C的方程．
（I）設直線l與橢圓C交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，和x軸交于M（1，0）點．
由
AM
=2
MB
，知y1=-2y2，
將x=1-y代入
x2
a2
+
y2
b2
=1，得（a2+b2）y2-2b2y+b2（1-a2）=0，①
由韋達定理，知
y1+y2=
2b2
a2+b2
=-y2，②
y1y2=
b2(1-a2)
a2+b2
=-2y22，③

②2
③
得b2=
a2(1-a2)
a2-9
，④
對方程①由△=4b4-4b2（a2+b2）（1-a2）＞0，得a2+b2＞1．⑤
將④代入⑤，得a2+
a2(1-a2)
a2-9
＞1，解得1＜a2＜9，
又由a＞b及④，得a2＜5，∴1＜a2＜5，∴1＜a＜
5
．
∴所求橢圓長軸長的取值范圍是（2，2
5
）．
（II）由（I）中②③得，
|AB|=
2
|y1-y2|=
2
•
(y1+y2)2-4y1y2

=
2
2
ab
a2+b2-1
a2+b2
，
∵|
AB
|=
3
2
2
，∴
2
2
ab
a2+b2-1
a2+b2
=
3
2
2
，⑥
聯立④⑥，解得a2=3，b2=1，
∴橢圓C的方程為
x2
3
+y2=1．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓中心在原點，焦點在x軸上，長軸長等于12，離心率為
1
3
．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）在橢圓上任取一點P，過P點做y軸垂線段PQ，Q為垂足，當P在橢圓上運動時，求線段PQ的中點M的軌跡方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：x2=2py過點P(1，
1
2
)，直線l交C于A，B兩點，過點P且平行于y軸的直線分別與直線l和x軸相交于點M，N．
（1）求p的值；
（2）是否存在定點Q，當直線l過點Q時，△PAM與△PBN的面積相等？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）有兩個頂點在直線x+2y-2=0上
（1）求橢圓C的方程；
（2）當直線l：y=x+m與橢圓C相交時，求m的取值范圍；
（3）設直線l：y=x+m與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標原點，若以為AB直徑的圓過原點，求m的值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：x2=2py（p＞0）上一點A（m，4）到其焦點F的距離為
17
4
．
（1）求P與m的值；
（2）若直線l過焦點F交拋物線于P，Q兩點，且|PQ|=5，求直線l的方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系xoy中，如圖，已知橢圓
x2
9
+
y2
5
=1的左、右頂點為A、B，右焦點為F，設過點T（t，m）的直線TA、TB與此橢圓分別交于點M（x1，y1）、N（x2，y2），其中m＞0，y1＞0，y2＜0
（1）設動點P滿足(
PF
+
PB
)(
PF
-
PB
)=13，求點P的軌跡方程；
（2）設x1=2，x2=
1
3
，求點T的坐標；
（3）若點T在點P的軌跡上運動，問直線MN是否經過x軸上的一定點，若是，求出定點的坐標；若不是，說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：y2=4x的準線與x軸交于M點，過M點斜率為k的直線l與拋物線C交于A、B兩點（A在M、B之間）．
（1）F為拋物線C的焦點，若|AM|=
5
4
|AF|，求k的值；
（2）如果拋物線C上總存在點Q，使得QA⊥QB，試求k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知點M（-1，0），N（1，0），動點P（x，y）滿足：|PM|•|PN|=
4
1+cos∠MPN
，
（1）求P的軌跡C的方程；
（2）是否存在過點N（1，0）的直線l與曲線C相交于A、B兩點，并且曲線C存在點Q，使四邊形OAQB為平行四邊形？若存在，求出平行四邊形OAQB的面積；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)過點(
3
，
2
2
)，它的離心率為
6
2
，P、Q分別在雙曲線的兩條漸近線上，M是線段PQ中點，|PQ|=2
2
．
（Ⅰ）求雙曲線及其漸近線方程；
（Ⅱ）求點M的軌跡C的方程；
（Ⅲ）過C左焦點F1的直線l與C相交于點A、B，F2為C的右焦點，求△ABF2面積最大時
F2A
•
F2B
的值．

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