Question

已知拋物線C：y²=4(x-1),橢圓C₁的左焦點及左準線與拋物線C的焦點F和準線l分別重合.

(1)設B是橢圓C₁短軸的一個端點，線段BF的中點為P，求點P的軌跡C₂的方程;

(2)如果直線x+y=m與曲線C₂相交于不同兩點M、N，求m的取值范圍.

Answer 1

(1)解法一：由y²=4(x-1)知拋物線C的焦點F坐標為(2,0),準線l的方程為x=0.設動橢圓C₁的短軸的一個端點B的坐標為(x₁,y₁)(x₁＞2,y₁≠0)，點P(x,y),

    則

    ∴

    ∴B(2x-2,2y)(x＞2,y≠0).

    設點B在準線x=0上的射影為點B′,橢圓的中心為點O′，則橢圓離心率e=,由=,得=,

    整理，化簡得y²=x-2(y≠0),這就是點P的軌跡方程.

    解法二：拋物線y²=4(x-1)焦點為F(2,0)，準線l:x=0.設P(x,y),

    ∵P為BF中點,

    ∴B(2x-2,2y)(x＞2,y≠0).

    設橢圓C₁的長半軸、短半軸、半焦距分別為a、b、c,

    則c=(2x-2)-2=2x-4,b²=(2y)²=4y²,

    ∵(-c)-(-)=2,

    ∴=2,即b²=2c.

    ∴4y²=2(2x-4),即y²=x-2(y≠0).

    此即C₂的軌跡方程.

(2)解：由(y≠0),得y²+y-m+2=0,令Δ=1-4(-m+2)＞0，解得m＞.

    而當m=2時，直線x+y=2過點(2,0)，這時它與曲線C₂只有一個交點,

    ∴所求m的取值范圍是(,2)∪(2,+∞).