Question

如圖，五面體A-BCC₁B₁中，AB₁=4．底面ABC 是正三角形，AB=2．四邊形BCC₁B₁是矩形，二面角A-BC-C₁為直二面角．
（Ⅰ）若D是AC中點，求證：AB₁∥平面BDC₁；
（Ⅱ）求該五面體的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接B₁C交BC₁于O，連接DO，由三角形的中位線性質可得  DO∥AB₁ ，從而證明AB₁∥平面BDC₁ ．
 （Ⅱ）過A作AH⊥BC，垂足為H，求出棱錐的高AH和矩形BCC₁B₁的面積，代入體積公式進行運算．

解答：解：（Ⅰ）證明：連接B₁C交BC₁于O，連接DO，∵四邊形BCC₁B₁是矩形，
∴O為B₁C中點又D為AC中點，從而，DO∥AB₁ ．
∵AB₁?平面BDC₁，DO?平面BDC₁，∴AB₁∥平面BDC₁ ．
（Ⅱ）過A作AH⊥BC，垂足為H，∵△ABC為正三角形，∴H為BC中點，AH=

AB2-BH2

=

3

，∵二面角A-BC-C₁為直二面角，∴AH⊥面BCC₁B₁，又BB1=

A B 2 1 -AB2

=2

3

，故矩形BCC₁B₁的面積S=BC•BB1=2×2

3

=4

3

，
故所求五面體體積V=VA-BCC1B1=

1

3

S•AH=

1

3

•4

3

•

3

=4．

點評：本題考查證明線面平行的方法，求椎體的體積．證明 DO∥AB₁ 是解題的關鍵．