Question

用0、1、2、3、4、5這六個數字，組成沒有重復數字的六位數．
（1）這樣的六位奇數有多少個？
（2）數字5不在個位的六位數共有多少個？
（3）數字1和2不相鄰，這樣的六位數共有多少個？

Answer 1

分析：（1）根據題意，首先分析末尾數字，易得末位數字可以為1、3、5，可得其取法數目，其首位數字不能為0，可得其取法數目，則其他4個數字，排在中間4位，有A₄⁴種排法，由分步計數原理，計算可得答案；
（2）根據題意，數字5不在個位，且0不能在首位，首先不考慮題意要求，計算6個數字排成一排的排法數目，再分別計算數字5在個位，0在首位和5在個位且0在首位的情況數目，進而計算可得答案；
（3）首先計算用這6個數字可以組成沒有重復數字的六位數的數目，再計算數字1和2相鄰的六位數的數目，由排除法計算可得答案．

解答：解：（1）根據題意，末位數字可以為1、3、5，有A₃¹種取法，
首位數字不能為0，有A₄¹種取法，
其他4個數字，排在中間4位，有A₄⁴種排法，
則六位奇數共有A₃¹A₄¹A₄⁴=288（個）
（2）根據題意，6個數字排成一排，共有A₆⁶種排法，
數字5不在個位，5在個位的有A₅⁵種情況，
而0不能在首位，0在首位的有A₅⁵種情況，
其中，5在個位且0在首位，即其他4個數字，排在中間4位，有A₄⁴種排法，
則數字5不在個位的六位數共有A₆⁶-2A₅⁵+A₄⁴=504個，
（3）用0、1、2、3、4、5這六個數字，組成沒有重復數字的六位數，
0不在首位，則首位有A₅¹種情況，其他5個位置有A₅⁵種情況，即可以組成A₅¹A₅⁵個六位數，
其中，數字1和2相鄰時的情況有A₄¹A₄⁴A₂²種，即1、2相鄰的六位數有A₄¹A₄⁴A₂²個，
則數字1和2不相鄰的六位數共有A₅¹A₅⁵-A₄¹A₄⁴A₂²=408個．

點評：本題考查排列、組合的應用，解題時注意題干條件對數的限制，其次還要注意首位數字不能為0．