Question

已知點M，N分別在直線y=mx和y=-mx（m＞0）上運動，點P是線段MN的中點，且|MN|=2，動點P的軌跡是曲線C．
（1）求曲線C的方程，并討論方程所表示的曲線類型；
（2）設m=

2

2

時，過點A（-

2 6

3

，0）的直線l與曲線C恰有一個公共點，求直線l的斜率．

Answer 1

分析：（1）設出動點的坐標，利用點P是線段MN的中點，且|MN|=2，可得曲線C的方程；對參數分類討論，即可得到所表示的曲線；
（2）將直線方程與橢圓方程聯立，利用過點A（-

2 6

3

，0）的直線l與曲線C恰有一個公共點，可得判別式等于0，結論方程，即可求得直線l的斜率．

解答：解：（1）設P（x，y），M（x₁，mx₁），N（x₂，-mx₂），
依題意得

x1+x2=2x mx1-mx2=2y (x1-x2)2+(mx1+mx2)2=22

，
消去x₁，x₂，整理得

x2

1 m2

+

y2

m2

=1，
當m＞1時，方程表示焦點在y軸上的橢圓，
當0＜m＜1時，方程表示焦點在x軸上的橢圓，
當m=1時，方程表示圓．
（2）當m=

2

2

時，方程為

x2

2

+

y2

1 2

=1，
設直線l的方程為y=k（x+

2 6

3

），與橢圓方程聯立

x2 2 + y2 1 2 =1 y=k(x+ 2 6 3 )

，
消去y得（1+4k²）x²+

16 6

3

k²x+

32k2

3

-2=0，
根據已知可得△=0，
故有（

16 6

3

k²）²-4（1+4k²）（

32k2

3

-2）=0，k²=

3

4

∴直線l的斜率為k=±

3

2

．

點評：本題考查軌跡方程的求解，考查曲線與方程之間的聯系，考查直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是將直線方程與橢圓方程聯立，利用判別式求解．