Question

A、B是雙曲線＝1上的兩點，點N(1，2)是線段AB的中點．

(1)求直線AB的方程；

(2)若線段AB的垂直平分線交雙曲線于C、D兩點，那么A、B、C、D四點是否共圓，為什么？

Answer 1

答案：
解析：

解析：直線與圓錐曲線的關系問題是高考重點考查內容，常需聯立方程，消元后運用根與系數關系，此外還可考慮“點差法”． 　　方法一：(1)由于直線AB與x軸不垂直，故可設其斜率為k，則方程為y＝k(x－1)＋2．代入雙曲線方程消x并整理得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0． 　　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由解得k＝1，從而直線方程為x－y＋1＝0． 　　(2)AB的垂直平分線方程為x＋y－3＝0，代入雙曲線方程根據弦長公式求得|CD|＝，CD中點M(－3，6)．又|AM|＝|BM|＝，故四點共圓． 　　方法二：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入雙曲線得． 　　作差得＝1，即k＝1，以下同方法一． 　　方法二通常稱之為“點差法”，同學們可以嘗試一下已知曲線為橢圓或拋物線的情形． 　　此外，本題也可根據橢圓的參數方程設點B的坐標，化為三角函數求出最大值，感興趣者不妨一試．