Question

設函數f(x)=

x2-1

x2

的定義域為E，值域為F．
（1）若E={1，2}，判斷實數λ=lg²2+lg2lg5+lg5-16-

1

2

與集合F的關系；
（2）若E={1，2，a}，F={0，

3

4

}，求實數a的值．
（3）若E=[

1

m

，

1

n

]，F=[2-3m，2-3n]，求m，n的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數f（x）的解析式，將x∈{1，2}代入求出集合E，利用對數的運算性質求出λ，進而根據元素與集合的關系可得答案；
（2）分別令f（a）=0，即

a2-1

a2

=0，令f（a）=

3

4

，即可求出實數a的值．
（3）求出函數f（x）的導函數，判斷函數的單調性，進而根據函數f（x）的值域為[2-3m，2-3n]，x∈[

1

m

，

1

n

]，m＞0，n＞0構造關于m，n的方程組，進而得到m，n的值．

解答：解：（1）∵f(x)=

x2-1

x2

，∴當x=1時，f（x）=0；當x=2時，f（x）=

3

4

，∴F={0，

3

4

}．
∵λ=lg²2+lg2lg5+lg5-16 -

1

2

=lg2（lg2+lg5）+lg5-

1

4

=lg2+lg5-

1

4

=lg10-

1

4

=

3

4

．
∴λ∈F．…（5分）
（2）令f（a）=0，即

a2-1

a2

=0，a=±1，取a=-1；
令f（a）=

3

4

，即

a2-1

a2

=

3

4

，a=±2，取a=-2，
故a=-1或-2．…（9分）
（3）∵f(x)=

x2-1

x2

是偶函數，且f'（x）=

2

x3

＞0，
則函數f（x）在（-∞，0）上是減函數，在（0，+∞）上是增函數．
∵x≠0，∴由題意可知：

1

m

＜

1

n

＜0或0＜

1

m

＜

1

n

．
若

1

m

＜

1

n

＜0，則有

f( 1 m )=2-3n f( 1 n )=2-3m

，即

1-m2=2-3n 1-n2=2-3m

，
整理得m²+3m+10=0，此時方程組無解；
若0＜

1

m

＜

1

n

，則有

f( 1 m )=2-3m f( 1 n )=2-3n

，即

1-m2=2-3m 1-n2=2-3n

，
∴m，n為方程x²-3x+1=0，的兩個根．∵0＜

1

m

＜

1

n

，∴m＞n＞0，
∴m=

3+ 5

2

，n=

3- 5

2

．…（16分）

點評：本題考查的知識點是函數奇偶性與單調性，考查運算求解能力，考查方程思想，化歸與轉化思想．屬于基礎題．