Question

己知函數是f（x）圖象點的兩點，橫坐標為的點P是M，N的中點．
（1）求證：y₁+y₂的定值；
（2）若，，T_n為數列{a_n}前n項和，當T_n＜m（S_n+1+1）對一切n∈N*都成立時，試求實數m的取值范圍．
（3）在（2）的條件下，設，B_n為數列{b_n}前n項和，證明：．

Answer 1

解：（1）由已知得，x₁+x₂=1
∴y₁+y₂==
==1
（2）由（1）知當x₁+x₂=1時，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=1
①
②
①+②得，
當n≥2時，=
又當n=1時，也適合上式，故
故T_n==
∵T_n＜m（S_n+1+1）對一切n∈N*都成立
即m＞=恒成立，
又=，
所以實數m的取值范圍為：（，+∞）
（3）因為，
所以
故B_n=
=
分析：（1）由已知得，x₁+x₂=1，由對數的計算公式代入可求結果；（2）由y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=1可知，只需用倒序相加法的方式即可求得Sn，進而可得a_n，Tn，下面由恒成立問題的求法可得；（3）由前面的解答可得，代入可得b_n，由不等式的放縮法和裂項相消法可證．
點評：本題為數列的綜合應用，涉及函數與不等式的內容，其中列項求和及不等式的放縮法是解決問題的關鍵，屬中檔題．