Question

設函數f(x)=

1

3

ax3-

1

2

x2+bx+1(a，b∈R)，且函數f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸．
（Ⅰ）試用a表示b；
（Ⅱ）當a＜

1

2

時，討論函數f（x）的單調性；
（Ⅲ）證明：當a=-3時，對?x₁，x₂∈[1，2]，都有|f(x1)-f(x2)|≤

9

2

．

Answer 1

分析：（I）求出函數的導函數，令導函數在x=1處的值為0，列出方程求出a，b的關系．
（II）求出f（x）的導函數，通過對導函數的二次項系數的符號的討論及導函數的兩個根大小的討論，判斷出函數的單調區間．
（III）通過（II）得到f（x）當a=3時，函數的單調性，求出f（x）在[1，2]上的最大值及最小值，不等式得證．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

1

3

ax3-

1

2

x2+bx+1，
f'（x）=ax²-x+b，
∴f'（1）=a-1+b=0，
∴b=1-a．
（Ⅱ）f'（x）=ax²-x+1-a=（x-1）[ax-（1-a）]．
∵a＜

1

2

，
（1）當a=0時，f'（x）=1-x，f（x）的遞增區間為（-∞，1），遞減區間為（1，+∞）；
（2）當a≠0時，f′(x)=(x-1)[ax-(1-a)]=a(x-1)[x-(

1

a

-1)]，
若0＜a＜

1

2

，則

1

a

-1＞1，
由f'（x）＞0得(x-1)[x-(

1

a

-1)]＞0，
∴x＞

1

a

-1或x＜1；
由f'（x）＜0得1＜x＜

1

a

-1；
∴f（x）的遞增區間為（-∞，1）和(

1

a

-1，+∞)，遞減區間為(1，

1

a

-1)．
若a＜0，則

1

a

-1＜1，
由f'（x）＞0得(x-1)[x-(

1

a

-1)]＜0，
∴

1

a

-1＜x＜1．
由f'（x）＜0得x＞1或x＜

1

a

-1，
∴f（x）的遞增區間為(

1

a

-1，1)，遞減區間為(-∞，

1

a

-1)和（1，+∞）．
綜上所述，當0＜a＜

1

2

時，f（x）的遞增區間為（-∞，1）和(

1

a

-1，+∞)，遞減區間為(1，

1

a

-1)；
當a=0時，f（x）的遞增區間為（-∞，1），遞減區間為（1，+∞）；
當a＜0時，f（x）的遞增區間為(

1

a

-1，1)，遞減區間為(-∞，

1

a

-1)和（1，+∞）．
（Ⅲ）當a=-3時，f(x)=-x3-

1

2

x2+4x+1，
由（Ⅱ）知，函數f（x）在x∈[1，2]為減函數，
∴x∈[1，2]，f(x)max=f(1)=

7

2

，f（x）_min=f（2）=-1，
∴對?x₁，x₂∈[1，2]，|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min=

9

2

，
即|f(x1)-f(x2)|≤

9

2

．

點評：函數在切點處的導數值是曲線的切線斜率；求函數的單調性，一般利用導函數的符號與單調性的關系，當導數大于0時，函數單調遞增；當導數小于0時，函數單調遞減；含參數的函數的單調性，一般需要討論．