Question

已知圓C1：x2+y2+2x-2y-2=0，圓C2：x2+y2-2x=0，直線l：mx+y+m=0（m∈R），設圓C₁與圓C₂相交于M，N
（1）求線段MN的長； 
（2）已知點Q為圓C₁上的動點，求S_△QMN的最大值；
（3）已知動點B（0，t），C（0，t-4）（0＜t＜4），直線PB，PC為圓C₂的切線，點P在y軸右邊，求△PBC面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用點到直線的距離公式，求出圓心到直線的距離，即可求得MN的長；
（2）求出Q到直線MN距離的最大值，即可求得S_△QMN的最大值；
（3）設P（x₀，y₀）（x₀＞0），直線PB的方程為y=

y0-t

x 0

x+t，即（y₀-t）x-x₀y+x₀t=0，由直線PB與圓M相切，可得(x0-2)t2+2y0t=x0，同理(x0-2)(t-4)2+2y0(t-4)=x0，由此可得x0=

2

1+ 1 t(t-4)

，根據0＜t＜4，可得x0≥

8

3

，從而可求△PBC面積的最小值．

解答：解：（1）∵直線MN方程：2x-y-1=0
∴dc1→lMN=

|-2-1-1|

4+1

=

4

5

，
∴MN=2

22-( 4 5 )2

=

4

5

5

．…（4分）
（2）∵(dQ→lMN)max=dC1→MN+2=

4

5

+2，
∴(S△QMN)max=

1

2

MN•(dQ→lMN)max=

1

2

•

4

5

5

•(

4

5

+2)=

8

5

+

4

5

5

．…（8分）
（3）設P（x₀，y₀）（x₀＞0），直線PB的方程為y=

y0-t

x 0

x+t，即（y₀-t）x-x₀y+x₀t=0．
由直線PB與圓M相切，得 

|y0-t+x0t|

(y0-t)2+x02

=1，
化簡得(x0-2)t2+2y0t=x0．（1）…（10分）
同理由直線PC與圓M相切，得  (x0-2)(t-4)2+2y0(t-4)=x0．（2）
由式（1），得  2y0=

x0-(x0-2)t2

t

，…（12分）
由式（2），得2y0=

x0-(x0-2)(t-4)2

t-4

，
從而x0=

2

1+ 1 t(t-4)

．
又由0＜t＜4，∴-4≤t（t-4）＜0
∴

1

t(t-4)

≤-

1

4

，∴x0≥

8

3

△PBC面積為

1

2

(t-t+4)x0=2x₀，∴△PBC面積的最小值

16

3

…（14分）

點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查圓的切線方程，考查三角形面積的計算，確定P的橫坐標的范圍是關鍵．