Question

已知直線y=kx-4k+1與曲線

1-(x-1)2

=|y-1|-2恰有一個公共點，則實數k的取值范圍是

{

-3- 3

4

，

-3+ 3

4

，

3- 3

4

，

3+ 3

4

}

．

Answer 1

分析：化簡曲線方程可得曲線為2個圓，當直線和每一個圓相切時，利用點到直線的距離公式求得k的值，即可求得k的范圍．

解答：解：由曲線

1-(x-1)2

=|y-1|-2，可得當y≥1時，（x-1）²+（y-3）²=1，
表示一個以A（1，3）為圓心，半徑等于1的圓．
當y＜1時，由曲線方程可得（x-1）²+（y+1）²=1，表示以B（1，-1）為圓心，以1為半徑的一個圓．
由于直線y=kx-4k+1=k（x-4）+1 經過定點M（4，1）．
①當直線和圓（x-1）²+（y-3）²=1相切時，由圓心A（1，3）到直線的距離d=r=1=

|k×1-3-4k+1|

k2+1

，
解得 k=

-3- 3

4

，k=

-3+ 3

4

．
②當直線和圓（x-1）²+（y+1）²=1相切時，由圓心B（1，-1）到直線的距離d′=r′=1=

|k×1+1-4k+1|

k2+1

，
解得 k=

3+ 3

4

，或 k=

3- 3

4

．
根據直線與曲線

1-(x-1)2

=|y-1|-2恰有一個公共點，
結合圖形可得k的范圍是{

-3- 3

4

，

-3+ 3

4

，

3- 3

4

，

3+ 3

4

}，
故答案為 {

-3- 3

4

，

-3+ 3

4

，

3- 3

4

，

3+ 3

4

}．

點評：本題主要考查圓的標準方程的特征，直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式的應用，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．