Question

已知函數
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）當時，若在區間上的最小值為-2，求實數的取值范圍；
（3）若對任意，且恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）（2）（3）

試題分析：解：（Ⅰ）當時，，
因為，.所以切線方程是
（Ⅱ）函數 的定義域是，
當時,
令，即,
所以或。
當，即時，在［1，e]上單調遞增，
所以在［1，e]上的最小值是；
當時，在［1，e]上的最小值是，不合題意；
當時，在（1，e）上單調遞減，
所以在［1，e]上的最小值是，不合題意；
綜上，。
（Ⅲ）設，則，只要在上單調遞增即可.而，
當時，，此時在上單調遞增；
當時，只需在上恒成立，因為，只要，
則需要，且對于函數，過定點（0，1），對稱軸，只需，即；
綜上。
點評：導數常應用于求曲線的切線方程、求函數的最值與單調區間、證明不等式和解不等式中參數的取值范圍等。