Question

設f（x）=

1

3

x³+mx²+nx．
（1）如果g（x）=f′（x）-2x-3在x=-2處取得最小值-5，求f（x）的解析式；
（2）如果m+n＜10（m，n∈N⁺），f（x）在單調遞減區(qū)間的長度是正整數，試求m和n的值．（注：區(qū)間（a，b）的長度為b-a）

Answer 1

（1）由題意得g（x）=f′（x）-2x-3=x²+2mx+n-2x-3=（x+m-1）²+（n-3）-（m-1）²，
又g（x） 在x=-2處取得最小值-5，
所以

m-1=2 (m-3)2

+(n-3)-(m-1)2=-5，解得m=3，n=2．
所以f（x）=

1

3

x³+3x²+2x． 
（2）因為f′（x）=x²+2mx+n且f（x）的單調遞減區(qū)間的長度是正整數，
所以方程f′（x）=0，即x²+2mx+n=0必有兩不等實根，
則△=4m²-4n＞0，即m²＞n．
不妨設方程f′（x）=0的兩根分別為x₁、x₂，則|x₁-x₂|=

(x1+x2) 2-4x1x2

=2

m2-n

且為正整數．
又因為m+n＜10（m，n∈N⁺），所以m≥2時才能有滿足條件的m、n．
當m=2時，只有n=3符合要求；
當m=3時，只有n=5符合要求；
當m≥4時，沒有符合要求的n．
故只有m=2，n=3或m=3，n=5滿足上述要求．