Question

定義：若函數f（x）對于其定義域內的某一數x₀，有 f （x₀）=x₀，則稱x₀是f （x）的一個不動點．已知函數f（x）=ax²+（b+1）x+b-1 （a≠0）．
（Ⅰ）當a=1，b=-2時，求函數f（x）的不動點；
（Ⅱ）若對任意的實數b，函數f（x）恒有兩個不動點，求a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若y=f（x）圖象上兩個點A、B的橫坐標是函數f（x）的不動點，且A、B兩點關于直線y=kx+

a

5a2-4a+1

對稱，求b的最小值．

Answer 1

分析：（I）將a=1，b=-2代入f（x）=ax²+（b+1）x+b-1 （a≠0），求出f（x），令f（x）=x，解方程求不動點即可；
（II）由ax²+（b+1）x+b-1=x有兩個不動點，即ax²+bx+b-1=0有兩個不等實根，可通過判別式大于0得到關于參數a，b的不等式b²-4ab+4a＞0，由于此不等式恒成立，配方可得b²-4ab+4a=（b-2a）²+4a-4a²＞0恒成立，將此不等式恒成立轉化為4a-4a²＞0即可．
（III）由于本小題需要根據兩個點A、B的坐標轉化點關于線的對稱這一條件，故可以先設出兩點的坐標分別為A（x₁，x₁），B（x₂，x₂）（x₁≠x₂），由斜率公式求得k_AB=1，又對稱性知直線y=kx+

a

5a2-4a+1

的斜率k=-1將其代入直線的方程，可以得到x₁+x₂=

a

5a2-4a+1

，由此聯想到根與系數的關系，由（II）知，x₁、x₂應是方程ax²+bx+b-1=0的根，故又可得x₁+x₂=-

b

a

，至此題設中的條件轉化為-

b

a

=

a

5a2-4a+1

，觀察發現參數b可以表示成參數a的函數即b=-

a2

5a2-4a+1

，至此，求參數b的問題轉化為求b關于a的函數最小值的問題．

解答：解：（Ⅰ）當a=1，b=-2時，有f （x）=x²-x-3，
令x²-x-3=x，化簡得：x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，或x₂=3
故所求的不動點為-1或3．（4分）

（Ⅱ）令ax²+（b+1）x+b-1=x，則ax²+bx+b-1=0①
由題意，方程①恒有兩個不等實根，所以△=b²-4a（b-1）＞0，
即b²-4ab+4a＞0恒成立，（6分）
整理得b²-4ab+4a=（b-2a）²+4a-4a²＞0，
故4a-4a²＞0，即0＜a＜1（8分）

（Ⅲ）設A（x₁，x₁），B（x₂，x₂）（x₁≠x₂），則k_AB=1，∴k=-1，
所以y=-x+

a

5a2-4a+1

，（9分）
又AB的中點在該直線上，所以

x1+x2

2

=-

x1+x2

2

+

a

5a2-4a+1

，
∴x₁+x₂=

a

5a2-4a+1

，
而x₁、x₂應是方程①的兩個根，所以x₁+x₂=-

b

a

，即-

b

a

=

a

5a2-4a+1

，
∴b=-

a2

5a2-4a+1

（12分）
=-

1

( 1 a )2-4( 1 a )+5

=

1

( 1 a -2)2+1

∴當a=

1

2

∈（0，1）時，b_min=-1．（14分）

點評：本題考點是二次函數的性質，主要考查二次函數、方程的基本性質、不等式的有關知識，同時考查函數思想、數形結合思想、邏輯推理能力和創新意識．