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在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=2，CC1=3，
CE
=2
EC1

（1）求點D1到平面BDE的距離；
（2）求直線A1B與平面BDE所成角的正弦值．
（1）如圖建立空間直角坐標系：
D（0，0，0），B（2，4，0），E（0，4，2），D1（0，0，3），
∴
DB
=(2，4，0)，
DE
=(0，4，2)，
DD1
=（0，0，3）
設面DBE的法向量為
n
=(x，y，z)，
由
n
⊥
DB
n
⊥
DE
⇒
2x+4y=0
4y+2z=0
，
令y=1，則x=-2，z=-2．
n
=(-2，1，-2)d=|
DD1
•
n
|
n
|
|=|
(0，0，3)•(-2，1，-2)
3
|=2．
（2）A1（2，0，3），B（2，4，0），
A1B
=(0，4，-3)
設直線A1B與平面BDE所成的角為θ則sinθ=|cos＜
A1B
，
n
＞|=
|
A1B
•
n
|
|
A1B
||
n
|
=
10
5×3
=
2
3
．
所以直線A1B與平面BDE所成角的正弦值為
2
3
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的側棱AA1⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC1上動點，F是AB中點，AC=1，BC=2，AA1=4．
（1）當E是棱CC1中點時，求證：CF∥平面AEB1；
（2）在棱CC1上是否存在點E，使得二面角A-EB1-B的余弦值是
2
17
17
，若存在，求CE的長，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點．
（1）證明：CD⊥AE；
（2）證明：PD⊥平面ABE；
（3）求二面角B-PC-D的余弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠ACB=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，若PA=AB=2，∠BPC=θ，則當△AEF的面積最大時，tanθ的值為（　　）
A．2B．
1
2
C．
2
D．
2
2

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=2，點E在棱CD上，且CE=
1
3
CD．
（1）求證：AD1⊥平面A1B1D；
（2）在棱AA1上是否存在點P，使DP∥平面B1AE？若存在，求出線段AP的長；若不存在，請說明理由；
（3）若二面角A-B1E-A1的余弦值為
30
6
，求棱AB的長．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中點．
（Ⅰ）證明：CD⊥平面PAE；
（Ⅱ）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，PDCE為矩形，ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=
1
2
CD=a，PD=
2
a．
（1）若M為PA中點，求證：AC∥平面MDE；
（2）求平面PAD與PBC所成銳二面角的大小（理）；
求二面角P-AC-D的正切值的大小（文）．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1的中點，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點．
（Ⅰ）求證：PB1∥平面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A-A1D-B的大小；
（Ⅲ）在直線B1P上是否存在一點Q，使得DQ⊥平面A1BD，若存在，求出Q點坐標，若不存在請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知是兩條異面直線，，那么與的位置關系____________________。

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