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已知向量
a
=(sin
x
3
，
3
cos
x
3
)，
b
=(1，1)，函數f(x)=
a
•
b
cos
x
3
．
（1）將f（x）寫成Asin（ωx+φ）+B的形式，并求其圖象的對稱中心；
（2）如果△ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac，且邊b所對的角為x，試求x的取值范圍及此時函數f（x）的值域．
分析：（1）利用平面向量的數量積運算法則建立f（x）的關系式，利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，整理后，再利用特殊角的三角函數值及兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，令這個角等于kπ，求出x的值，得到對稱中心的橫坐標，代入函數解析式得到對稱中心的縱坐標，確定出對稱中心；
（2）利用余弦定理表示出cosx，把已知的b2=ac代入，化簡后根據基本不等式可得cosx的范圍，根據余弦函數的圖象與性質可得x的范圍，根據x的范圍求出這個角的范圍，根據正弦函數的值域可得函數的值域及此時x的范圍．
解答：解：（1）f（x）=sin
x
3
cos
x
3
+
3
cos2
x
3

=
1
2
sin
2x
3
+
3
2
（1+cos
2x
3
）
=
1
2
sin
2x
3
+
3
2
cos
2x
3
+
3
2

=sin（
2x
3
+
π
3
）+
3
2
，
令sin（
2x
3
+
π
3
）=0，即
2x
3
+
π
3
=kπ（k∈Z），解得x=
3k-1
2
π（k∈Z），
則對稱中心為（
3k-1
2
π，
3
2
）（k∈Z）；
（2）∵b2=ac，
∴根據余弦定理得：cosx=
a2+c2-b2
2ac
=
a2+c2-ac
2ac
≥
2ac-ac
2ac
=
1
2
，
∴
1
2
≤cosx＜1，即0＜x≤
π
3
，
∴
π
3
＜
2x
3
+
π
3
≤
5π
9
，
∵|
π
3
-
π
2
|＞|
5π
9
-
π
2
|，
∴sin
π
3
＜sin（
2x
3
+
π
3
）≤1，
∴
3
＜sin（
2x
3
+
π
3
）+
3
2
≤1+
3
2
，
則x∈（0，
π
3
]時，函數f（x）的值域為（
3
，1+
3
2
]．
點評：此題考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，平面向量的數量積運算法則，基本不等式及正弦函數的定義域及值域，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表達式．
（2）用“五點作圖法”畫出函數f（x）在一個周期上的圖象．
（3）寫出f（x）在[-π，π]上的單調遞減區間．
（4）設關于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，則sin2θ+cos2θ的值為（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此結論求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五點法”作出函數y=f（x）在長度為一個周期的閉區間的圖象．
②求函數f（x）的最小正周期和單調增區間；
③求函數f（x）的最大值，并求出取得最大值時自變量x的取值集合
④函數f（x）的圖象可以由函數y=sin2x（x∈R）的圖象經過怎樣的變換得到？
⑤當x∈[0，π]，求函數y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作圖
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