Question

（2011•深圳二模）執(zhí)行下面框圖所描述的算法程序，記輸出的一列數(shù)依次為a₁，a₂，…，a_n，n∈N*，n≤2011．
（1）若輸入λ=

2

，寫(xiě)出輸出結(jié)果；
（2）若輸入λ=2，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若輸入λ＞2，令cn=

an-p

pan-1

，求常數(shù)p（p≠±1），使得{c_n}是等比數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）輸入λ=

2

，進(jìn)行循環(huán)得到輸出結(jié)果是：0，

2

2

．
（2）由題意得an+1=

1

λ-an

，λ=2，所以an+1=

1

2-an

，所以整理得

1

an+1-1

-

1

an-1

=-1（常數(shù)），（而{a_n}中的任意一項(xiàng)均不為1）
故{

1

an-1

}是首項(xiàng)為-1，公差為-1的等差數(shù)列，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（3）當(dāng)λ＞2時(shí)，cn+1=p2•

an-p( λ p - 1 p2 )

pan-(pλ-p2)

，令

λ

p

-

1

p2

=1，可得，p=

λ± λ2-4

2

．  所以，pλ-p2=p(p+

1

p

)-p2=1，所以c_n+1=p²c_n，
又c₁=p≠0，故可得答案．

解答：解 （1）輸出結(jié)果是：0，

2

2

，

2

．
（2）由程序框圖知，a₁=0，an+1=

1

λ-an

，n∈N*，n≤2010．
因?yàn)棣?2，所以an+1=

1

2-an

，
an+1-1=

1

2-an

-1=

an-1

2-an

，而{a_n}中的任意一項(xiàng)均不為1，
否則的話(huà)，由a_n+1=1可以得到a_n=1，…，與a₁=0≠1矛盾，
所以，

1

an+1-1

=

2-an

an-1

=

1

an-1

-1，

1

an+1-1

-

1

an-1

=-1（常數(shù)），n∈N*，n≤2010．
故{

1

an-1

}是首項(xiàng)為-1，公差為-1的等差數(shù)列，
所以，

1

an-1

=-n，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=1-

1

n

，n∈N*，n≤2011．
（3）當(dāng)λ＞2時(shí)，cn+1=

an+1-p

pan+1-1

=

1 λ-an -p

p λ-an -1

=

pan-pλ+1

an-λ+p

=p2•

an-p( λ p - 1 p2 )

pan-(pλ-p2)

，
令

λ

p

-

1

p2

=1，則λ=p+

1

p

，p²-λp+1=0，p=

λ± λ2-4

2

．  
此時(shí)，pλ-p2=p(p+

1

p

)-p2=1，
所以c_n+1=p²c_n，n∈N*，n≤2011，
又c₁=p≠0，
故存在常數(shù)p=

λ± λ2-4

2

（λ＞2），使得{c_n}是以p為首項(xiàng)，p²為公比的等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題以框圖為橋梁考查數(shù)列的有關(guān)知識(shí)如求數(shù)列的通項(xiàng)公式研究判斷數(shù)列為等比數(shù)列，解決此類(lèi)題目的方法是對(duì)求通項(xiàng)公式與判斷等比數(shù)列的知識(shí)要熟悉，要提高運(yùn)算能力．