Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x＞0時f(x)=x2-

1

3

x3
（1）求f（x）的解析式
（2）討論函數f（x）在區間（-∞，0）上的單調性
（3）設g（x）是函數f（x）在區間（0，+∞）上的導函數．若a＞1且g（x）在區間[

1

2

，a]上的值域為[

1

a

，1]，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由f（x）是定義在R上的奇函數得f（0）=0，再設x＜0，則-x＞0，由f(x)=-f(-x)=-(x2+

1

3

x3)求得整個定義域上的解析式；
（2）可選用導數法，由若導數大于零，則對應的區間為增區間，若導數小于零，則對應的區間為減區間判斷．
（3）由（1）當x＞0時，f(x)=x2-

1

3

x3可得g（x）=f'（x）=2x-x²=-（x-1）²+1，再利用二次函數求值域的方法求解．

解答：解：（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數∴f（0）=0（1分）
又∵x＞0時，f(x)=x2-

1

3

x3
∴當x＜0時-x＞0f(x)=-f(-x)=-(x2+

1

3

x3)
∴f(x)=

x2- 1 3 x3(x≥0) -x2- 1 3 x3(x＜0)

（3分）

（2）由（1）知當x∈（-∞，0）時，f(x)=-x2-

1

3

x3，∴f'（x）=-2x-x²（4分）
令f'（x）=0得x=-2或x=0
當x∈（-∞，-2）時，f'（x）＜0，f（x）是減函數
當x∈（-2，0）時，f'（x）＞0，f（x）是增函數
∴f（x）在區間（-∞，-2）上是減函，數在（-2，0）上是增函數．（7分）

（3）∵當x＞0時，f(x)=x2-

1

3

x3
∴g（x）=f'（x）=2x-x²=-（x-1）²+1
又∵a＞1
∴g（x）在區間[

1

2

，a]上，當x=1時g（x）取得最大值1．
當1＜a≤

3

2

時，g(x)min=g(

3

2

)=

3

4

，由

3

4

=

1

a

得a=

4

3

∈(1，

3

2

]
當a＞

3

2

時，g（x）_min=g（a）=2a-a²
由2a-a2=

1

a

得a=

1+ 5

2

或a=

1- 5

2

∉(

3

2

，+∞)或a=1∉(

3

2

，+∞)
∴所求的a的值為a=

4

3

或a=

1+ 5

2

（12分）

點評：本題主要考查用函數的奇偶性求解析式，導數法研究單調性，構造新函數研究其性質等問題，旨在培養學生綜合運用知識和方法的能力．