Question

已知O為坐標原點，點E，F的坐標分別為（-1，0）和（1，0），動點P滿足：+=4
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）過E點做直線與C相交于M，N兩點，且，求直線MN的方程．

Answer 1

解：（1）∵+=4
由橢圓的第一定義可知點P的軌跡為橢圓，
且2a=4，c=1，∴a²=4，b²=3
∴所求的橢圓方程為
（2）①當直線MN的斜率不存在時，不滿足題意；
②當直線MN的斜率存在時，設其方程為y=k（x+1），
代入化簡得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0
設兩交點的坐標為M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）
則
∵，∴x₁+2x₂=-3
∴，
∴
∴
∴所求的直線MN的方程為
分析：（1）由橢圓的定義可知，到兩個定點距離之和等于定長的點的軌跡為橢圓，所以所求點P的軌跡C為橢圓，再分別求出橢圓中a，b的值即可．
（2）當斜率存在時，設出直線MN的點斜式方程，與（1）中所求橢圓方程聯立，求出x1+x2，x1x2，再根據，
即可求出k，得到直線MN的方程．
點評：本題主要考查了定義法求軌跡方程，以及直線與橢圓位置關系的判斷．