Question

已知數列{a_n}是等差數列，數列{b_n}是各項均為正數的等比數列，a₁=b₁=1且a₄+b₄=15，a₇+b₇=77．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）設數列{a_n•b_n}的前n項和為S_n，求滿足n•2ⁿ⁺¹-S_n＞90的最小正數n．

Answer 1

分析：（1）利用基本量求出q=2，d=2，（2）對于等差數列和等比數列相乘形式數列，一般采取錯位相減的辦法求數列的前n項和．

解答：解：（1）設{a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，則

1+3d+q3=15 1+6d+q6=77

解得q⁶-2q³-48=0，從而q=2，d=2，所以a_n=2n-1，b_n=2^n-1
（2）s_n=1×1+3×2+5×2²+…+（2n-1）•2^n-1，則2s_n=1×2+3×2²+…+（2n-1）•2ⁿ
兩式相減得-S_n=2（1+2+2²+2^n-1）-1-（2n-1）×2ⁿ
所以S_n=n×2ⁿ⁺¹-3×2ⁿ+3
又滿足n•2ⁿ⁺¹-S_n＞90，所以2ⁿ＞31
所以最小證整數為5．

點評：本題考查數列的性質和綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．對于等差數列和等比數列相乘形式數列，一般采取錯位相減的辦法求數列的前n項和，一定要熟練掌握．