Question

（2007•上海）我們在下面的表格內填寫數值：先將第1行的所有空格填上1；再把一個首項為1，公比為q的數列{a_n}依次填入第一列的空格內；然后按照“任意一格的數是它上面一格的數與它左邊一格的數之和”的規則填寫其它空格．

	第1列	第2列	第3列	…	第n列
第1行	1	1	1	…	1
第2行	q
第3行	q2
…	…
第n行	qn-1

（1）設第2行的數依次為B₁，B₂，…，B_n，試用n，q表示B₁+B₂+…+B_n的值；
（2）設第3列的數依次為c₁，c₂，c₃，…，c_n，求證：對于任意非零實數q，c₁+c₃＞2c₂；
（3）請在以下兩個問題中選擇一個進行研究 （只能選擇一個問題，如果都選，被認為選擇了第一問）．
①能否找到q的值，使得（2）中的數列c₁，c₂，c₃，…，c_n的前m項c₁，c₂，…，c_m （m≥3）成為等比數列？若能找到，m的值有多少個？若不能找到，說明理由．
②能否找到q的值，使得填完表格后，除第1列外，還有不同的兩列數的前三項各自依次成等比數列？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據題意分別求出B₁、B₂，利用歸納法求出B_n，再由分組求和法求出和式的值；
（2）根據題意分別求出c₁，c₂，c₃，再進行作差：c₁+c₃-2c₂，化簡后判斷出符號，即得證；
（3）①先設c₁，c₂，c₃成等比數列求出公比q，再去檢驗

c4

c3

是否為q，求出m和q；
②設x₁，x₂，x₃和y₁，y₂，y₃分別為第k+1列和第m+1列的前三項，有條件分別求出各項，再求出對應的公比，再由k≠m進行判斷．

解答：解：（1）由題意得，B₁=q，B₂=1+q，
B₃=1+（1+q）=2+q，…，B_n=（n-1）+q，
∴B₁+B₂+…+B_n=1+2+…+（n-1）+nq=

n(n-1)

2

+nq．
（2）由題意得，c₁=1，c₂=1+（1+q）=2+q，
c3=(2+q)+(1+q+q2)=3+2q+q2，
由 c1+c3-2c2=1+3+2q+q2-2(2+q)=q2＞0，
即 c₁+c₃＞2c₂．  
（3）①先設c₁，c₂，c₃成等比數列，由c1c3=

c

2 2

得，
 3+2q+q²=（2+q）²，q=-

1

2

．
此時 c₁=1，c2=

3

2

，c3=

9

4

，
∴c₁，c₂，c₃是一個公比為

3

2

的等比數列． 
如果m≥4，c₁，c₂，…，c_m為等比數列，那么c₁，c₂，c₃一定是等比數列．
由上所述，此時q=-

1

2

，c1=1，c2=

3

2

，c3=

9

4

，c4=

23

8

，
由于

c4

c3

≠

3

2

，因此，對于任意m≥4，c₁，c₂，…，c_m一定不是等比數列．
綜上所述，當且僅當m=3且q=-

1

2

時，數列c₁，c₂，…，c_m是等比數列．
②設x₁，x₂，x₃和y₁，y₂，y₃分別為第k+1列和第m+1列的前三項，1≤k＜m≤n-1，
則x1=1，x2=k+q，x3=(1+2+3+…+k)+kq+q2=

k(k+1)

2

+kq+q2，
若第k+1列的前三項x₁，x₂，x₃是等比數列，則
由x1x3=

x

2 2

，得

k(k+1)

2

+kq+q2=(k+q)2，

k2-k

2

+kq=0，q=

1-k

2

，
同理，若第m+1列的前三項y₁，y₂，y₃是等比數列，則q=

1-m

2

．
當k≠m時，

1-k

2

≠

1-m

2

．
所以，無論怎樣的q，都不能同時找到兩列數（除第1列外），使它們的前三項都成等比數列．

點評：本題考查了等比和等差數列的通項公式、前n項和公式以及性質的應用，考查了分析問題和解決問題的能力．