Question

1已知函數f(x)=ax+b

1+x2

(x≥0)，g(x)=2

b(1+x2)

，a，b∈R，且g（0）=2，f(

3

)=2-

3

（Ⅰ）求f（x）、g（x）的解析式；
（Ⅱ）h（x）為定義在R上的奇函數，且滿足下列性質：①h（x+2）=-h（x）對一切實數x恒成立；②當0≤x≤1時h(x)=

1

2

[-f(x)+log2g(x)]．
（ⅰ）求當-1≤x＜3時，函數h（x）的解析式；
（ⅱ）求方程h(x)=-

1

2

在區間[0，2012]上的解的個數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用待定系數法，由條件得出關于a，b的方程，解得，a=-1，b=1即可得出f（x）、g（x）的解析式；
（Ⅱ）（ⅰ）利用當0≤x≤1時函數的解析式，結合函數是偶函數得出當-1≤x≤0時的解析式，最后利用題中的性質即可得出函數h（x）的解析式；
（ⅱ）先利用題中條件：“h（x+2）=-h（x）”得到h（x）是以4為周期的周期函數．從而h(x)=-

1

2

的所有解是x=4n-1（n∈Z），進一步即可得出h(x)=-

1

2

在[0，2012]上解的個數．

解答：解：（Ⅰ）由f(

3

)=2-

3

，g(0)=2，得

3

a+2b=2-

3

，2

b

=2，
解得，a=-1，b=1．
∴f(x)=

1+x2

-x，g(x)=2

1+x2

．
（Ⅱ）（ⅰ）當0≤x≤1時，h(x)=

1

2

x，
∴當-1≤x≤0時，h(x)=-h(-x)=

1

2

x，
∴h(x)=

1

2

x， (-1≤x≤1)．
當1＜x＜3時，-1＜x-2＜1，
∴h(x)=-h(x-2)=-

1

2

(x-2)．
故h(x)=

1 2 x，-1≤x≤1 - 1 2 (x-2)，1＜x＜3.

（ⅱ）當-1≤x＜3時，由h(x)=-

1

2

，得x=-1．
∵h（x+2）=-h（x），
∴h（x+4）=-h（x+2）=-[-h（x）]=h（x），
∴h（x）是以4為周期的周期函數．
故h(x)=-

1

2

的所有解是x=4n-1（n∈Z），
令0≤4n-1≤2012，則

1

4

≤n≤

2013

4

．
而n∈Z，∴1≤n≤503（n∈Z），
∴h(x)=-

1

2

在[0，2012]上共有503個解．

點評：本小題主要考查函數解析式的求解及常用方法、根的存在性及根的個數判斷等基本知識，考查函數的性質的方法，考查分析問題、解決問題的能力．